El ACP desde cero

Hallar las direcciones de mayor varianza

El análisis de componentes principales busca la dirección en la que una nube de datos varía más, luego la siguiente dirección en ángulo recto con ella, y así sucesivamente. Para los rendimientos de $N$ activos esa nube vive en $N$ dimensiones y es difícil de mirar, pero sus direcciones principales ordenan las fuentes independientes de riesgo. La receta es breve: centrar cada columna, formar la matriz de covarianza, tomar sus vectores propios, ordenarlos por valor propio y proyectar los datos sobre los primeros.

Aquí $X_c$ es la matriz $T\times N$ de rendimientos centrados, las columnas de $Q$ son las direcciones principales (cargas) y las de $Z$ las puntuaciones, es decir los datos en las nuevas coordenadas. Las puntuaciones no están correlacionadas y la varianza de la $j$-ésima es $\lambda_j$, de modo que los valores propios reparten exactamente la varianza total $\operatorname{tr}\Sigma$. El signo de las direcciones es arbitrario: $\mathbf q$ y $-\mathbf q$ son la misma recta. Hay dos precauciones. Centrar importa, porque sin ello la primera dirección apunta en parte a la media. Las unidades también: el ACP de una matriz de covarianza está dominado por las variables más volátiles, así que cuando las variables tienen escalas distintas se estandarizan primero, es decir, se trabaja con la matriz de correlación.

• Receta: centrar, covarianza, descomposición propia, ordenar por valor propio y proyectar sobre las primeras direcciones.
• Puntuaciones: no correlacionadas, de varianza $\lambda_j$; la parte explicada es $\lambda_j/\sum\lambda_i$.
• Precauciones: los signos son arbitrarios; centrar los datos; estandarizar si las unidades difieren (matriz de correlación).

Lab: qué se califica

• La receta del ACP15 pts
• El primer valor propio15 pts
• La parte explicada15 pts
• Una puntuación15 pts
• Cuándo estandarizar15 pts
• Hechos sobre las puntuaciones10 pts
• Por qué centrar los datos15 pts