標本共分散とそのノイズ

不偏でもなお誤っている推定

標本共分散行列 $S=\frac1{T-1}X_c^{T}X_c$ は不偏で、多数の標本で平均すると真の $\Sigma$ に等しくなります。安心できそうで、実は誤解を招きます。$N$ 資産のポートフォリオには $N(N+1)/2$ 個の共分散パラメータがあり、$N=100$ なら5,050個を、$N$ 個のリターンの $T$ 回の観測から推定します。$N$ が $T$ に比べて小さくないと、各成分がノイズを含み、さらに悪いことに $S$ の固有値が系統的に広がります。真の固有値がすべて等しくても、大きいものは大きすぎ、小さいものは小さすぎます。

真の共分散が単位行列（$\sigma^2=1$、固有値がすべて1）で $N,T$ が大きいとき、$S$ の固有値は第1式の区間 $[\lambda_-,\lambda_+]$、つまりマルチェンコ・パスツールの端の間を埋めます。$q=0.25$ なら $[0.25,\,2.25]$ で、真の姿にはない9対1の広がりです。$N>T-1$ のとき $S$ のランクは高々 $T-1$ で、特異であり零の固有値を持ちます。最小分散の最適化は最大の被害者で、$S$ が最も小さい分散を示す方向、つまり $S$ がリスクを最も過小評価している方向に重みを積み上げます。$\Sigma=I$ のシミュレーションでは、標本の最小分散ポートフォリオの実現分散は、標本内で約束した分散の約 $1/(1-q)^2$ 倍、真の最小値の約 $1/(1-q)$ 倍になります。

• 不偏だがノイズが多い：$E[S]=\Sigma$ だが、$q=N/T$ が大きいと $S$ の固有値が広がる。
• 端：真の姿が単位行列なら標本固有値は $[(1-\sqrt q)^2,(1+\sqrt q)^2]$ に入る。
• ランク：$N>T-1$ では標本共分散は特異。最適化は最小の固有値を悪用する。

ラボ：採点される内容

• 上端15点
• 下端10点
• パラメータ数10点
• 最大ランク10点
• 実現分散と約束された分散15点
• 最適化がノイズを増幅する理由20点
• ノイズを減らす20点