La matriz de covarianza muestral S=T−11XcTXc es insesgada: en promedio sobre muchas muestras es igual a la Σ verdadera. Eso suena tranquilizador y engaña. Una cartera de N activos tiene N(N+1)/2 parámetros de covarianza, que para N=100 son 5050, y se estiman con T observaciones de N rendimientos. Cuando N no es pequeño frente a T, cada entrada es ruidosa y, peor, los valores propios de S están sistemáticamente dispersos: los grandes demasiado grandes y los pequeños demasiado pequeños, aunque la verdad tenga todos sus valores propios iguales.
q=TN,λ±=σ2(1±q)2,VpromVreal≈(1−q)21(1)
Si la covarianza verdadera es la identidad (σ2=1, todos los valores propios iguales a 1) y N,T son grandes, los valores propios de S llenan el intervalo [λ−,λ+] de la primera fórmula, los bordes de Marchenko-Pastur. Con q=0,25 es [0,25;2,25], una dispersión de nueve a uno donde la verdad no tiene ninguna. Cuando N>T−1, S tiene rango como mucho T−1, así que es singular y tiene valores propios nulos. Un optimizador de mínima varianza es la peor víctima: se carga en las direcciones en que S muestra menos varianza, que son justo aquellas donde S subestima más el riesgo. Las simulaciones con Σ=I muestran que la varianza realizada de la cartera de mínima varianza muestral es aproximadamente 1/(1−q)2 veces la varianza prometida dentro de muestra y 1/(1−q) veces el mínimo verdadero.
Quinientas acciones, dos añosEstimemos la covarianza de N=500 acciones con dos años de datos diarios, T=504. Entonces q=500/504≈0,99, y los bordes de Marchenko-Pastur para una verdad unidad son λ−=(1−0,996)2≈0,00002 y λ+=(1+0,996)2≈3,98: los valores propios más pequeños son prácticamente cero, de modo que S es casi singular y su inversa está dominada por el ruido. La matriz tiene 500×501/2=125250 entradas distintas pero solo 504×500 números detrás. En cambio, las doce acciones del proyecto final con 4184 días tienen q=0,003, así que los bordes son aproximadamente 0,89 y 1,11 y el ruido es allí un problema menor.
Insesgada pero ruidosa: E[S]=Σ, pero para q=N/T grande los valores propios de S están dispersos.
Bordes: para una verdad unidad los valores propios muestrales están en [(1−q)2,(1+q)2].
Rango: para N>T−1 la covarianza muestral es singular; un optimizador explota sus menores valores propios.
Los optimizadores maximizan el errorUn optimizador de carteras lee la matriz de covarianza como verdad y se concentra donde la matriz dice que el riesgo es más barato. Los errores de estimación no se compensan, por tanto: se seleccionan. Las curas de las próximas lecciones recortan o limpian todas los valores propios, porque ahí está el daño, y se juzgan de la única forma honesta: por la varianza de la cartera con datos que el estimador nunca vio.
Lab: qué se califica
El borde superior15 pts
El borde inferior10 pts
Contar parámetros10 pts
El rango máximo10 pts
Varianza realizada frente a la prometida15 pts
Por qué los optimizadores amplifican el ruido20 pts
Reducir el ruido20 pts
0/ 7 respondidos
1Respuesta numérica15 ptsSin responder
Con una covarianza verdadera igual a la identidad y q = N/T = 0,25, ¿cuál es el borde superior de Marchenko-Pastur (1+q)2?
lambda+=aceptado: ± 0.01
2Respuesta numérica10 ptsSin responder
Para el mismo q = 0,25, ¿cuál es el borde inferior (1−q)2?
lambda−=aceptado: ± 0.005
3Respuesta numérica10 ptsSin responder
¿Cuántas entradas distintas tiene la matriz de covarianza de N = 100 activos, N(N+1)/2?
entries=aceptado: ± 0.5
4Respuesta numérica10 ptsSin responder
Una matriz de covarianza muestral de N = 50 activos se construye con T = 30 observaciones diarias. ¿Cuál es el mayor rango posible, T−1?
rank=aceptado: ± 0.01
5Respuesta numérica15 ptsSin responder
Para una covarianza verdadera unidad y q = 0,2, la varianza realizada de la cartera de mínima varianza muestral es aproximadamente 1/(1−q)2 veces la varianza prometida dentro de muestra. ¿Cuál es ese factor? Dé dos decimales.
factor=aceptado: ± 0.01
6Elección20 ptsSin responder
¿Por qué un optimizador de mínima varianza rinde tan mal con una matriz de covarianza muestral ruidosa?
7Explicar con palabras20 ptsSin responder
En una o dos frases, indique dos formas de hacer menos ruidosa una matriz de covarianza muestral.
Modo matemáticasEntrada por teclado o LaTeXEjercicio 1 de 7 · Ctrl ⏎ para comprobar
