التباين المشترك للعينة وضجيجه

تقدير غير متحيز لكنه خاطئ مع ذلك

مصفوفة التباين المشترك للعينة $S=\frac1{T-1}X_c^{T}X_c$ غير متحيزة: وسطيًا على عينات كثيرة تساوي $\Sigma$ الحقيقية. وهذا مطمئن لكنه مضلل. فلمحفظة من $N$ أصلًا عدد $N(N+1)/2$ من معاملات التباين المشترك، أي 5050 عندما $N=100$، وتُقدَّر من $T$ مشاهدة لعوائد $N$ أصلًا. وحين لا يكون $N$ صغيرًا بالنسبة إلى $T$ يكون كل عنصر مشوّشًا، والأسوأ أن القيم الذاتية لـ $S$ مبعثرة بشكل منهجي: الكبيرة أكبر مما ينبغي والصغيرة أصغر مما ينبغي، حتى لو كانت كل القيم الذاتية الحقيقية متساوية.

إذا كان التباين المشترك الحقيقي هو مصفوفة الوحدة ($\sigma^2=1$ وكل القيم الذاتية 1) وكانت $N,T$ كبيرتين، فإن القيم الذاتية لـ $S$ تملأ المجال $[\lambda_-,\lambda_+]$ من الصيغة الأولى، حافتي ماركينكو-باستور. وعندما $q=0.25$ يكون $[0.25,\,2.25]$، أي تشتت تسعة إلى واحد حيث لا تشتت في الحقيقة. وعندما $N>T-1$ تكون رتبة $S$ على الأكثر $T-1$ فهي شاذة وفيها قيم ذاتية صفرية. ومُحسِّن أدنى تباين أسوأ الضحايا: فهو يحمّل الاتجاهات التي تُظهر فيها $S$ أقل تباين، وهي بالضبط التي تقلّل فيها $S$ تقدير المخاطرة أكثر. وتُظهر محاكاة بـ $\Sigma=I$ أن التباين المتحقق لمحفظة أدنى تباين العينة يساوي نحو $1/(1-q)^2$ مرة التباين الذي وعدت به داخل العينة، و$1/(1-q)$ مرة الحد الأدنى الحقيقي.

• غير متحيزة لكن مشوّشة: $E[S]=\Sigma$ ولكن عند $q=N/T$ كبير تتبعثر القيم الذاتية لـ $S$.
• الحافتان: لحقيقة وحدوية تقع القيم الذاتية للعينة في $[(1-\sqrt q)^2,(1+\sqrt q)^2]$.
• الرتبة: عند $N>T-1$ تكون مصفوفة التباين المشترك للعينة شاذة، ويستغل المُحسِّن أصغر قيمها الذاتية.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• الحافة العليا15 نقطة
• الحافة الدنيا10 نقطة
• عدّ المعاملات10 نقطة
• الرتبة القصوى10 نقطة
• التباين المتحقق مقابل الموعود15 نقطة
• لماذا تضخّم المُحسِّنات الضجيج20 نقطة
• تخفيض الضجيج20 نقطة