قصّ القيم الذاتية وماركينكو-باستور

التمييز بين القيم الذاتية للإشارة والضجيج

لو كانت العوائد ضجيجًا خالصًا بلا بنية لانتشرت القيم الذاتية لمصفوفة ارتباطها مع ذلك على مجال معروف هو مجال ماركينكو-باستور $[\lambda_-,\lambda_+]$ حيث $\lambda_\pm=(1\pm\sqrt q)^2$ و$q=N/T$. وهذا المجال مسطرة. فالقيمة الذاتية لمصفوفة الارتباط في العينة التي تتجاوز $\lambda_+$ أكبر مما يفسره الضجيج، فهي تعكس عاملًا مشتركًا حقيقيًا. أما القيم داخل المجال فلا تتميز من الضجيج: متجهاتها الذاتية اتجاهات عشوائية لا تحمل معلومة عن المستقبل.

يعمل قصّ القيم الذاتية بحسب هذا الحكم. نُبقي القيم الذاتية التي تتجاوز $\lambda_+$ ونستبدل كل غيرها بمتوسطها $\bar\lambda_{\mathrm{noise}}$، أي نسوّي الجزء المشوّش من الطيف. والمتوسط بدل الصفر يحفظ الأثر وهو $N$ في مصفوفة الارتباط، ويُبقي المصفوفة معرّفة موجبة فقابلة للعكس وهذا ما يحتاجه المُحسِّن. ثم نعيد بناء $C_{\mathrm{clean}}=Q\Lambda'Q^{T}$ ونعيد تعييرها لتكون قطرها 1 تمامًا لأن الاستبدال يغيّر القطر قليلًا. وهناك تحسينان شائعان. فنمط السوق يمتص تباينًا، فمستوى الضجيج الحقيقي $\sigma^2\approx1-\lambda_1/N$ لا 1. وقانون ماركينكو-باستور يفترض مشاهدات مستقلة وذيولًا رفيعة فالحافة دليل لا اختبار دقيق؛ فتحقق من المصفوفة المنقّاة خارج العينة.

• الحافة: القيم الذاتية فوق $(1+\sqrt q)^2$ إشارة، وما داخل المجال ضجيج.
• القصّ: استبدل القيم الذاتية للضجيج بمتوسطها محافظًا على الأثر وعلى كون المصفوفة معرّفة موجبة.
• الإنهاء: أعد بناء $Q\Lambda'Q^{T}$ وأعد تعيير القطر إلى 1؛ وتحقق دائمًا خارج العينة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• الحافة العليا15 نقطة
• عدّ القيم الذاتية للإشارة10 نقطة
• قيمة الاستبدال15 نقطة
• يبقى الأثر10 نقطة
• خوارزمية القصّ15 نقطة
• لماذا المتوسط15 نقطة
• ماذا تعني قيمة ذاتية فوق الحافة20 نقطة