Faktormodelle aus der PCA

Eine Kovarianzmatrix mit Struktur

Clipping und Schrumpfung säubern eine volle Matrix. Ein Faktormodell baut stattdessen eine mit Struktur: Renditen werden von wenigen gemeinsamen Faktoren plus anlagespezifischem Rauschen getrieben, $\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$. Hier ist $B$ die $N\times k$-Matrix der Ladungen, $\mathbf f$ enthält $k\ll N$ Faktorrenditen mit Kovarianz $\Lambda$, und $\boldsymbol\varepsilon$ sind die idiosynkratischen Renditen, untereinander und mit den Faktoren unkorreliert, mit Varianzen $d_i$. Die PCA liefert eine fertige Version: die ersten $k$ Hauptkomponenten als Faktoren nehmen.

Der erste Term ist der systematische Teil: Er hängt vom Portfolio nur über dessen Faktorexpositionen $B^{T}\mathbf w$ ab. Der zweite ist das idiosynkratische Risiko. Aus der PCA enthält $B$ die ersten $k$ Eigenvektoren, mit $\sqrt{\lambda_j}$ skaliert (oder die unskalierten Eigenvektoren mit $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$), und $d_i$ ist die Varianz der Anlage $i$, die die Faktoren nicht erklären. Die Ersparnis ist groß: statt $N(N+1)/2$ Kovarianzen schätzt man $Nk+N$ Zahlen. Für $N=500$ und $k=5$ sind das 3000 statt 125 250. Die Modellmatrix ist positiv definit, sobald alle $d_i>0$, selbst bei $N>T$, und sie verkörpert die Lehre des Clippings: Nur den ersten $k$ Eigenrichtungen wird getraut, der Rest wird zu diagonalem Rauschen.

• Struktur: $\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$ mit wenigen Faktoren und einer diagonalen idiosynkratischen Matrix.
• Ersparnis: $Nk+N$ Parameter statt $N(N+1)/2$; positiv definit, wenn alle $d_i>0$.
• Risikoaufteilung: Varianz = Faktorexpositionsanteil + idiosynkratischer Anteil; Diversifikation beseitigt nur Letzteren.

Lab: Was bewertet wird

• Parameter zählen10 Pkt.
• Idiosynkratische Varianz15 Pkt.
• Vom Faktor erklärter Anteil10 Pkt.
• Portfolioexposition15 Pkt.
• Portfoliovarianz20 Pkt.
• Wann die Modellmatrix invertierbar ist15 Pkt.
• Was Diversifikation beseitigt15 Pkt.