由主成分分析得到的因子模型

有结构的协方差矩阵

截断和收缩是清理一个完整矩阵，因子模型则是构造一个有结构的矩阵：收益由少数共同因子加上各资产自身的噪声驱动，$\mathbf r=B\mathbf f+\boldsymbol\varepsilon$。其中 $B$ 是 $N\times k$ 的载荷矩阵，$\mathbf f$ 含有 $k\ll N$ 个协方差为 $\Lambda$ 的因子收益，$\boldsymbol\varepsilon$ 是特质收益，彼此以及与因子都不相关，方差为 $d_i$。主成分分析提供了现成的版本：取前 $k$ 个主成分作为因子。

第一项是系统性部分：它对组合的依赖只通过其因子暴露 $B^{T}\mathbf w$。第二项是特质风险。由主成分分析得到时，$B$ 含前 $k$ 个特征向量乘以 $\sqrt{\lambda_j}$（或未缩放的特征向量配 $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_j)$），$d_i$ 是资产 $i$ 的方差中因子解释不了的部分。节省很大：不用估计 $N(N+1)/2$ 个协方差，只需估计 $Nk+N$ 个数。$N=500$、$k=5$ 时是 3000 个而不是 125250 个。只要所有 $d_i>0$，即使 $N>T$，模型矩阵也是正定的，并且体现了截断的教训：只信任前 $k$ 个特征方向，其余变成对角噪声。

• 结构：$\Sigma\approx B\Lambda B^{T}+D$，少数因子加对角的特质方差矩阵。
• 节省：用 $Nk+N$ 个参数而不是 $N(N+1)/2$ 个；所有 $d_i>0$ 时正定。
• 风险拆分：方差 = 因子暴露部分 + 特质部分；分散化只能消除后者。

实验：评分内容

• 数参数个数10 分
• 特质方差15 分
• 因子解释的占比10 分
• 组合的暴露15 分
• 组合方差20 分
• 模型矩阵何时可逆15 分
• 分散化消除什么15 分