Modéliser la queue, pas la moyenne
Les moindres carrés ajustent la moyenne : ils minimisent Σeₜ². Le quantile q de y sachant x est la valeur sous laquelle tombe une part q des résultats, et la régression quantile l'ajuste en minimisant la perte pinball Σρ_q(eₜ) avec ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e) et e=y-prévision. Une sous-prévision coûte q par unité, une sur-prévision 1-q : l'asymétrie tire la droite vers le quantile q. À q=0,5 la perte vaut la moitié de l'erreur absolue et l'ajustement est la médiane. QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) ajuste le quantile à 5 % ; res.params contient l'ordonnée et les pentes. Des quantiles différents peuvent avoir des pentes différentes, et c'est tout l'intérêt : l'effet de x peut porter sur la dispersion du résultat, pas sur son centre.
Utilisez la volatilité annualisée sur 21 jours pour prévoir le rendement du lendemain de SPY sur 5 383 jours. La pente vaut -0,096 au quantile 5 %, +0,087 au quantile 95 % et 0,001 à la médiane, alors que les moindres carrés trouvent 0,0008 : la moyenne ne bouge pas avec la volatilité, les queues si, dans les deux sens. L'ajustement à 5 % donne un tableau de valeur à risque, -(a+b·vol) : 1,2 % à une volatilité de 10 %, 2,2 % à 20 %, 6,3 % à 60 %. Jugez-le comme une prévision. La perte pinball sur les 30 % de jours les plus récents est 0,001295 contre 0,001342 pour le quantile 5 % inconditionnel, un gain modeste. La couverture, la part des jours où le rendement est sous le quantile prédit, devrait être proche de 5 % partout. La valeur à risque inconditionnelle est dépassée 2,2 % des jours calmes et 7,8 % des jours agités ; la conditionnelle donne 6,7 %, 4,3 %, 2,8 % : mieux équilibrée, pas parfaite, voilà à quoi ressemble l'honnêteté hors échantillon.
- La régression quantile minimise la perte pinball max(qe,(q-1)e) et ajuste n'importe quel quantile, pas seulement la moyenne.
- Les pentes peuvent différer selon le quantile : la volatilité déplace les queues du rendement suivant et laisse sa moyenne.
- Contrôlez la couverture globalement et par régime : une valeur à risque à 5 % doit être dépassée environ 5 % du temps partout.
Lab : ce qui est noté
- L'ajustement quantile10 pts
- Pentes par quantile10 pts
- Le quantile ajusté5 pts
- La perte pinball15 pts
- La couverture5 pts
- Couverture par tercile de volatilité15 pts
- Valeurs à risque10 pts
- Hors échantillon15 pts
- L'étude quantile15 pts