对尾部而非均值建模
最小二乘拟合的是均值：它最小化 Σeₜ²。给定 x 时 y 的 q 分位数是有比例 q 的结果落在其下方的值，分位数回归通过最小化弹球损失 Σρ_q(eₜ) 来拟合它，其中 ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e)，e=y-pred。预测偏低每单位损失 q，偏高损失 1-q：这种不对称把直线拉向 q 分位数。q=0.5 时损失是绝对误差的一半，拟合结果是中位数。QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) 拟合 5% 分位数；res.params 保存截距和斜率。不同分位数可以有不同的斜率，这正是要点：x 的影响可能落在结果的离散程度上，而不是它的中心。
用 21 日年化波动率预测 5,383 天中次日的 SPY 收益。斜率在 5% 分位数处为 -0.096，在 95% 分位数处为 +0.087，在中位数处为 0.001，而最小二乘得到的是 0.0008：均值不随波动率变动，但两端的尾部会向两个方向变动。5% 的拟合可以变成风险价值表 -(a+b·vol)：波动率 10% 时为 1.2%，20% 时为 2.2%，60% 时为 6.3%。像评估预测一样评估它。最近 30% 的天数上的弹球损失为 0.001295，无条件 5% 分位数为 0.001342，改进不大。覆盖率，即收益低于预测分位数的天数比例，应当处处接近 5%。无条件风险价值在平静日被突破 2.2%，在动荡日被突破 7.8%；条件版本分别为 6.7%、4.3%、2.8%：更均衡但并不完美，这就是样本外诚实的样子。
- 分位数回归最小化弹球损失 max(qe,(q-1)e)，可拟合任意分位数而不仅是均值。
- 斜率可随分位数而异：波动率改变次日收益的尾部，却不改变其均值。
- 检查覆盖率，既看整体也看各状态：5% 的风险价值应处处约有 5% 的时间被突破。
实验：评分内容
- 分位数拟合10 分
- 各分位数的斜率10 分
- 拟合的分位数5 分
- 弹球损失15 分
- 覆盖率5 分
- 按波动率三分位的覆盖率15 分
- 风险价值10 分
- 样本外15 分
- 分位数研究15 分