Modelar a cauda, não a média
Os mínimos quadrados ajustam a média: minimizam Σeₜ². O quantil q de y dado x é o valor abaixo do qual cai uma parcela q dos resultados, e a regressão quantílica o ajusta minimizando a perda pinball Σρ_q(eₜ) com ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e) e e=y-pred. Uma previsão abaixo custa q por unidade, uma acima 1-q: a assimetria puxa a reta para o quantil q. Com q=0,5 a perda é metade do erro absoluto e o ajuste é a mediana. QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) ajusta o quantil de 5 %; res.params guarda o intercepto e as inclinações. Quantis diferentes podem ter inclinações diferentes, e esse é o ponto: o efeito de x pode recair sobre a dispersão do resultado, não sobre seu centro.
Use a volatilidade anualizada de 21 dias para prever o retorno do dia seguinte do SPY em 5.383 dias. A inclinação é -0,096 no quantil de 5 %, +0,087 no de 95 % e 0,001 na mediana, enquanto os mínimos quadrados acham 0,0008: a média não se move com a volatilidade, as caudas sim, nos dois sentidos. O ajuste de 5 % vira uma tabela de valor em risco, -(a+b·vol): 1,2 % com volatilidade de 10 %, 2,2 % a 20 %, 6,3 % a 60 %. Julgue-o como uma previsão. A perda pinball nos últimos 30 % dos dias é 0,001295 contra 0,001342 do quantil de 5 % incondicional, um ganho modesto. A cobertura, a parcela de dias com retorno abaixo do quantil previsto, deveria ficar perto de 5 % em toda parte. O valor em risco incondicional é rompido em 2,2 % dos dias calmos e 7,8 % dos agitados; o condicional dá 6,7 %, 4,3 %, 2,8 %: mais equilibrado, não perfeito, que é a cara da honestidade fora da amostra.
- A regressão quantílica minimiza a perda pinball max(qe,(q-1)e) e ajusta qualquer quantil, não só a média.
- As inclinações podem diferir por quantil: a volatilidade move as caudas do retorno seguinte e deixa sua média.
- Verifique a cobertura no total e por regime: um valor em risco de 5 % deve ser rompido cerca de 5 % do tempo em toda parte.
Lab: o que é avaliado
- O ajuste quantílico10 pts
- Inclinações por quantil10 pts
- O quantil ajustado5 pts
- A perda pinball15 pts
- A cobertura5 pts
- Cobertura por tercil de volatilidade15 pts
- Valores em risco10 pts
- Fora da amostra15 pts
- O estudo quantílico15 pts