Regressões de Fama–MacBeth

Estimar o que o mercado paga por um traço

Ações com alto momentum ou baixa volatilidade ganham mais no mês seguinte, e quanto? Uma única regressão em todas as ações e todos os meses junta $18\,000$ observações como se fossem independentes, mas ações do mesmo mês compartilham o mesmo choque de mercado, então seus erros são correlacionados e as estatísticas t saem grandes demais. Fama e MacBeth evitaram isso com duas passagens. Primeiro, para cada mês regride-se em corte transversal o retorno do mês seguinte nas características de hoje: cada mês dá uma inclinação por característica, o preço que o mercado pagou naquele mês. Segundo, tratam-se essas inclinações mensais como série temporal: o prêmio é a média delas, e seu erro-padrão vem da dispersão delas, $\mathrm{se}=s/\sqrt{T}$ , então a estatística t é $\bar\lambda/(s/\sqrt T)$ .

y_{i,t+1}=\lambda_{0,t}+\lambda_{1,t}x_{i,t}+u_{i,t+1},\qquad \hat\lambda=\frac1T\sum_{t=1}^{T}\hat\lambda_t,\qquad t=\frac{\hat\lambda}{s_\lambda/\sqrt{T}}

(1)

Um mês e quatro mesesEm um mês, quatro ações têm características

x=-3,-1,1,3

(já centradas) e retornos do mês seguinte

y=-1,0,3,2

em percentual. Então

\sum xy=12

S_{xx}=20

, logo a inclinação é

0{,}6

e a constante

\bar y=1{,}0

. Suponha que quatro meses de tais inclinações sejam

0{,}6;-0{,}2;0{,}5;0{,}1

. A média é

0{,}25

, os desvios ao quadrado somam

0{,}41

, então

s^2=0{,}41/3=0{,}1367

s=0{,}370

\mathrm{se}=0{,}370/\sqrt4=0{,}185

t=0{,}25/0{,}185=1{,}35

. Em dados reais, tome

307

meses de janeiro de 2001 a julho de 2026 e cerca de

56

ações por mês (

17\,075

ações-mês no total), com três características tornadas comparáveis por padronização mensal: momentum de 12 meses sem o último mês, retorno do último mês e volatilidade de 12 meses. As inclinações mensais médias são

+0{,}178\%

para momentum (

t=1{,}68

-0{,}071\%

para o último mês (

t=-0{,}83

) e

+0{,}270\%

para volatilidade (

t=2{,}00

, ou

3{,}2\%

ao ano). Uma única regressão agrupada dá para volatilidade

t=5{,}47

, mais de duas vezes o valor de Fama–MacBeth, e agrupar por mês dá

2{,}35

. O prêmio de volatilidade é positivo nas duas metades da amostra (

0{,}27\%

0{,}27\%

ao mês), mas a lista de ações é a das grandes empresas de hoje, então o viés de sobrevivência sobrerrepresenta vencedoras muito voláteis como a NVIDIA.

As inclinações mensais podem elas mesmas ser autocorrelacionadas, por isso muitos estudos trocam $s/\sqrt T$ por um erro-padrão de Newey–West com poucas defasagens. Aqui isso pouco importa: para volatilidade $t=2{,}00$ vira $1{,}99$ com quatro defasagens. Outro ponto é que a constante $\hat\lambda_0$ é o retorno médio de uma ação de características médias, $1{,}00\%$ ao mês nesta amostra ( $t=4{,}08$ ), que reflete sobretudo o mercado e as sobreviventes.

Duas passagens: uma regressão por mês e depois a média e a dispersão das inclinações mensais.
Padronize as características a cada mês para que as inclinações sejam comparáveis e os extremos pesem menos.

Lab: o que é avaliado

A inclinação de um mês15 pts
O prêmio10 pts
A dispersão das inclinações10 pts
O erro-padrão10 pts
A estatística t15 pts
Agrupada contra Fama–MacBeth15 pts
O que faz o viés de sobrevivência25 pts

Estimar o que o mercado paga por um traço

y_{i,t+1}=\lambda_{0,t}+\lambda_{1,t}x_{i,t}+u_{i,t+1},\qquad \hat\lambda=\frac1T\sum_{t=1}^{T}\hat\lambda_t,\qquad t=\frac{\hat\lambda}{s_\lambda/\sqrt{T}}

(1)

Um mês e quatro mesesEm um mês, quatro ações têm características

x=-3,-1,1,3

(já centradas) e retornos do mês seguinte

y=-1,0,3,2

em percentual. Então

\sum xy=12

S_{xx}=20

, logo a inclinação é

0{,}6

e a constante

\bar y=1{,}0

. Suponha que quatro meses de tais inclinações sejam

0{,}6;-0{,}2;0{,}5;0{,}1

. A média é

0{,}25

, os desvios ao quadrado somam

0{,}41

, então

s^2=0{,}41/3=0{,}1367

s=0{,}370

\mathrm{se}=0{,}370/\sqrt4=0{,}185

t=0{,}25/0{,}185=1{,}35

. Em dados reais, tome

307

meses de janeiro de 2001 a julho de 2026 e cerca de

56

ações por mês (

17\,075

+0{,}178\%

para momentum (

t=1{,}68

-0{,}071\%

para o último mês (

t=-0{,}83

) e

+0{,}270\%

para volatilidade (

t=2{,}00

, ou

3{,}2\%

ao ano). Uma única regressão agrupada dá para volatilidade

t=5{,}47

, mais de duas vezes o valor de Fama–MacBeth, e agrupar por mês dá

2{,}35

. O prêmio de volatilidade é positivo nas duas metades da amostra (

0{,}27\%

0{,}27\%

ao mês), mas a lista de ações é a das grandes empresas de hoje, então o viés de sobrevivência sobrerrepresenta vencedoras muito voláteis como a NVIDIA.

Duas passagens: uma regressão por mês e depois a média e a dispersão das inclinações mensais.
Padronize as características a cada mês para que as inclinações sejam comparáveis e os extremos pesem menos.

Lab: o que é avaliado

A inclinação de um mês15 pts
O prêmio10 pts
A dispersão das inclinações10 pts
O erro-padrão10 pts
A estatística t15 pts
Agrupada contra Fama–MacBeth15 pts
O que faz o viés de sobrevivência25 pts

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