估计市场为某种特征支付多少
高动量或低波动率的股票下个月赚得更多吗？多多少？把所有股票、所有月份放进一次回归，会把 18,000 个观测当作相互独立，但同一个月的股票共享同一个市场冲击，误差相关，t 统计量因此大得离谱。法玛和麦克白用两步避开了这个问题。第一步，每个月把下月收益对当前特征做横截面回归，每个月给出每个特征的一个斜率，即该月市场支付的价格。第二步，把这些月度斜率当作时间序列：溢价是它们的平均值，其标准误来自它们的离散程度，se=s/T，所以 t 统计量为 λˉ/(s/T)。
yi,t+1=λ0,t+λ1,txi,t+ui,t+1,λ^=T1t=1∑Tλ^t,t=sλ/Tλ^(1) 一个月与四个月某个月有四只股票，特征
x=−3,−1,1,3（已中心化），下月收益
y=−1,0,3,2（百分数）。则
∑xy=12，
Sxx=20，斜率为
0.6，截距
yˉ=1.0。假设四个月的这类斜率为
0.6,−0.2,0.5,0.1。均值
0.25，偏差平方和
0.41，所以
s2=0.41/3=0.1367，
s=0.370，
se=0.370/4=0.185，
t=0.25/0.185=1.35。看真实数据：取 2001 年 1 月到 2026 年 7 月的
307 个月，每月约
56 只股票（共
17,075 个股票月），三个特征每月标准化后可相互比较：跳过最近一个月的 12 个月动量、最近一个月收益、12 个月波动率。月度斜率的平均值为：动量
+0.178%（
t=1.68），最近一个月
−0.071%（
t=−0.83），波动率
+0.270%（
t=2.00，年化
3.2%）。一次合并回归给出波动率
t=5.47，是法玛–麦克白结果的两倍多，按月聚类则为
2.35。波动率溢价在样本前后两半都为正（每月
0.27% 和
0.27%），但股票名单是今天的大公司，生存者偏差使 NVIDIA 这类高波动赢家被过度代表。
月度斜率本身也可能自相关，所以许多研究用带几阶滞后的纽维–韦斯特标准误取代 s/T。这里影响不大：波动率的 t=2.00 在四阶滞后下变为 1.99。另一点是截距 λ^0 是具有平均特征的股票的平均收益，本样本中为每月 1.00%（t=4.08），主要反映了市场和幸存者。
- 两步：每月做一次回归，再看月度斜率的均值与离散程度。
- 每月标准化特征，使斜率可比并降低极端值的影响。
实验：评分内容
- 一个月的斜率15 分
- 溢价10 分
- 斜率的离散程度10 分
- 标准误10 分
- t 统计量15 分
- 合并回归与法玛–麦克白15 分
- 生存者偏差的作用25 分
