市場が特性に払う対価を推定する
モメンタムが高い、またはボラティリティが低い株は、翌月により多く稼ぐのか、稼ぐならいくらか。全銘柄・全月を1回で回帰すると 18,000 件の観測を独立なものとしてまとめますが、同じ月の株は同じ市場ショックを共有するため誤差が相関し、t統計量が大きくなりすぎます。ファマとマクベスは2段階でこれを避けました。まず月ごとに、翌月のリターンを現在の特性に回帰する断面回帰を行い、各月が特性ごとに1つの傾き（その月に市場が払った価格）を与えます。次に、この月次の傾きを時系列として扱います。プレミアムはその平均で、標準誤差はそのばらつきから se=s/T と求まり、t統計量は λˉ/(s/T) です。
yi,t+1=λ0,t+λ1,txi,t+ui,t+1,λ^=T1t=1∑Tλ^t,t=sλ/Tλ^(1) 1か月と4か月ある月に、4銘柄の特性が
x=−3,−1,1,3（すでに平均ゼロ）、翌月リターンが
y=−1,0,3,2（%）だとします。
∑xy=12、
Sxx=20 なので傾きは
0.6、切片は
yˉ=1.0 です。4か月分の傾きが
0.6,−0.2,0.5,0.1 だとすると、平均は
0.25、偏差の2乗和は
0.41 で
s2=0.41/3=0.1367、
s=0.370、
se=0.370/4=0.185、
t=0.25/0.185=1.35 です。実データでは、2001年1月から2026年7月までの
307 か月、1か月あたり約
56 銘柄（合計
17,075 銘柄月）で、毎月標準化して比べられるようにした3つの特性を使います。直近1か月を除く12か月モメンタム、直近1か月のリターン、12か月ボラティリティです。月次の傾きの平均は、モメンタムが
+0.178%（
t=1.68）、直近1か月が
−0.071%（
t=−0.83）、ボラティリティが
+0.270%（
t=2.00、年率
3.2%）です。1回のプール回帰ではボラティリティの
t=5.47 とファマ・マクベスの値の2倍以上になり、月でクラスタリングすると
2.35 です。ボラティリティのプレミアムは標本の前半・後半ともに正（月
0.27% と
0.27%）ですが、銘柄は現在の大企業なので、生存バイアスにより NVIDIA のようなボラティリティの高い勝者が多く含まれます。
月次の傾き自体が自己相関することもあるので、多くの研究は s/T を数ラグのニューウィー・ウェスト標準誤差に置き換えます。ここでは影響は小さく、ボラティリティの t=2.00 は4ラグで 1.99 になります。もう1点、切片 λ^0 は平均的な特性を持つ株の平均リターンで、この標本では月 1.00%（t=4.08）であり、主に市場と生き残った銘柄を映しています。
- 2段階：月ごとに回帰し、次に月次の傾きの平均とばらつきを見る。
- 特性を毎月標準化し、傾きを比較可能にして外れ値の影響を減らす。
ラボ：採点される内容
- 1か月の傾き15点
- プレミアム10点
- 傾きのばらつき10点
- 標準誤差10点
- t統計量15点
- プール回帰とファマ・マクベス15点
- 生存バイアスの影響25点
