Modelar as bordas, não o meio
Os mínimos quadrados modelam a média. O risco vive nas caudas: os piores dias de uma ação podem reagir a uma variável que mal mexe no seu dia médio. A regressão quantílica ajusta diretamente um quantil escolhido τ da resposta, por exemplo o quantil de 5 % em que se constrói um limite de valor em risco. Ela minimiza a perda de verificação (pinball) ρτ(u)=u(τ−1[u<0]) sobre os resíduos u=y−q. Resíduos positivos são ponderados por τ e os negativos por 1−τ, então para τ=0,9 um palpite baixo demais custa nove vezes mais que um alto demais, o que empurra o palpite para o percentil 90. Para τ=0,5 a perda é metade do erro absoluto e o minimizador é a mediana. No statsmodels escreve-se smf.quantreg('y ~ vol', data).fit(q=0.05).
ρτ(u)=u(τ−1[u<0]),β^τ=argβmini∑ρτ(yi−xi⊤β),Qτ(y∣x)=x⊤βτ(1) A perda à mão e uma reta de valor em riscoTomemos
y=1,2,3,10,20. A mediana
3 tem perda absoluta
2+1+0+7+17=27, enquanto a média
7,2 tem
31,2. Para
τ=0,9 e o palpite
q=10 os resíduos são
−9,−8,−7,0,10 e a perda é
0,1(9+8+7)+0,9⋅10=11,4, enquanto o palpite
q=20 custa só
0,1(19+18+17+10)=6,4, porque quatro de cinco pontos ficam abaixo, que é como um quantil de 90 % deve parecer. Agora dados reais: o retorno do SPY do dia seguinte em percentual contra a volatilidade dos últimos 20 dias (também em percentual),
5384 dias. Os mínimos quadrados quase não acham efeito, com inclinação
0,011. A regressão quantílica acha inclinação
−1,50 em
τ=0,05 (erro-padrão
0,05) e
+1,37 em
τ=0,95, e
0,03 na mediana. Com volatilidade
1% os quantis ajustados são
−1,77%,
0,07% e
1,64%, e com
2% são
−3,27%,
0,10% e
3,01%: uma faixa de largura
6,28 pontos. As caudas se abrem com a volatilidade enquanto o centro mal se move. Como limite de valor em risco, a reta ajustada de
τ=0,05 é ultrapassada em
5,0% dos dias no total, e em
7,2% dos
263 dias com volatilidade acima de
2%, onde o limite normal constante de
−1,92% é ultrapassado em
22,4% e em apenas
1,3% dos
2600 dias calmos abaixo de
0,8%.
Duas cautelas. Retas quantílicas ajustadas separadamente podem se cruzar, de modo que a de 5 % termina acima da de 50 % nos extremos de x, o que um analista cuidadoso verifica. E os erros-padrão da regressão quantílica são por bootstrap ou assintóticos, com as mesmas preocupações de autocorrelação de antes, então estimativas de cauda em amostras curtas são ruidosas.
- Escolha o quantil que importa: 5 % para o risco de queda, 50 % para o caso típico, 95 % para a alta.
- Verifique a cobertura por regime: um limite certo no total pode estar errado em cada período calmo e em cada período agitado.
Lab: o que é avaliado
- Uma perda absoluta15 pts
- Uma perda pinball15 pts
- Um quantil de 5 % previsto15 pts
- A largura da faixa10 pts
- Violações esperadas15 pts
- Por que o limite constante falha10 pts
- A média esconde a cauda20 pts
