Die Ränder modellieren, nicht die Mitte
Kleinste Quadrate modellieren den Durchschnitt. Das Risiko liegt in den Rändern: Die schlechtesten Tage einer Aktie können auf eine Variable reagieren, die ihren durchschnittlichen Tag kaum bewegt. Die Quantilsregression passt direkt ein gewähltes Quantil τ der Zielgröße an, etwa das 5-%-Quantil, auf dem ein Value-at-Risk-Limit aufbaut. Sie minimiert dazu den Check-Verlust (Pinball) ρτ(u)=u(τ−1[u<0]) über die Residuen u=y−q. Positive Residuen werden mit τ, negative mit 1−τ gewichtet, für τ=0,9 kostet ein zu niedriger Tipp also neunmal so viel wie ein zu hoher und wird zum 90. Perzentil gezogen. Für τ=0,5 ist der Verlust der halbe absolute Fehler, und der Minimierer ist der Median. In statsmodels schreibt man smf.quantreg('y ~ vol', data).fit(q=0.05).
ρτ(u)=u(τ−1[u<0]),β^τ=argβmini∑ρτ(yi−xi⊤β),Qτ(y∣x)=x⊤βτ(1) Verlust von Hand und eine Value-at-Risk-GeradeNehmen wir
y=1,2,3,10,20. Der Median
3 hat den absoluten Verlust
2+1+0+7+17=27, der Mittelwert
7,2 hat
31,2. Für
τ=0,9 und den Tipp
q=10 sind die Residuen
−9,−8,−7,0,10, der Verlust ist
0,1(9+8+7)+0,9⋅10=11,4, während der Tipp
q=20 nur
0,1(19+18+17+10)=6,4 kostet, weil vier von fünf Punkten darunter liegen, wie es ein 90-%-Quantil verlangt. Nun echte Daten: die SPY-Rendite des Folgetags in Prozent gegen die Volatilität der letzten 20 Tage (ebenfalls in Prozent),
5384 Tage. Kleinste Quadrate finden fast keinen Effekt, die Steigung ist
0,011. Die Quantilsregression findet eine Steigung von
−1,50 bei
τ=0,05 (Standardfehler
0,05) und
+1,37 bei
τ=0,95, am Median
0,03. Bei einer Volatilität von
1% sind die angepassten Quantile
−1,77%,
0,07% und
1,64%, bei
2% sind sie
−3,27%,
0,10% und
3,01%: ein Band der Breite
6,28 Punkte. Die Ränder öffnen sich mit der Volatilität, die Mitte bewegt sich kaum. Als Value-at-Risk-Limit wird die angepasste
τ=0,05-Gerade insgesamt an
5,0% der Tage überschritten und an
7,2% der
263 Tage mit Volatilität über
2%, wo das konstante Normalverteilungslimit von
−1,92% an
22,4% überschritten wird, aber nur an
1,3% der
2600 ruhigen Tage unter
0,8%.
Zwei Vorsichtshinweise. Getrennt angepasste Quantilsgeraden können sich kreuzen, sodass die 5-%-Gerade an den Rändern von x über der 50-%-Geraden endet, was ein sorgfältiger Analyst prüft. Und die Standardfehler der Quantilsregression sind Bootstrap- oder asymptotisch, mit denselben Autokorrelationssorgen wie zuvor, Randschätzungen aus kurzen Stichproben sind also verrauscht.
- Das Quantil wählen, das zählt: 5 % für das Abwärtsrisiko, 50 % für den typischen Fall, 95 % für die Aufwärtsseite.
- Die Abdeckung je Regime prüfen: Ein insgesamt richtiges Limit kann in jeder ruhigen und jeder stürmischen Phase falsch sein.
Lab: Was bewertet wird
- Ein absoluter Verlust15 Pkt.
- Ein Pinball-Verlust15 Pkt.
- Ein vorhergesagtes 5-%-Quantil15 Pkt.
- Die Breite des Bandes10 Pkt.
- Erwartete Überschreitungen15 Pkt.
- Warum das konstante Limit versagt10 Pkt.
- Der Durchschnitt verbirgt den Rand20 Pkt.
