Kointegration und Paare

Zwei Preise, die zusammenbleiben

Preise wandern: Sie verhalten sich wie Irrfahrten, jeder ist also nicht stationär. Zwei wandernde Reihen sind kointegriert, wenn eine Kombination von ihnen nicht wandert: Der Spread $s_t=y_t-\beta x_t$ kehrt immer wieder zu einem Mittelwert zurück. Das ist die Idee des Pairs Trading. Der Engle-Granger-Test hat zwei Schritte. Zuerst regressiert man $y$ auf $x$ mit kleinsten Quadraten und erhält die Hedge-Ratio $\hat\beta$ und den Spread. Dann führt man einen erweiterten Dickey-Fuller-Test auf dem Spread durch: $\Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t$ , und fragt, ob $\gamma<0$ . Die t-Statistik muss unter besonderen kritischen Werten liegen, bei zwei Reihen etwa $-3{,}34$ zu 5 %, strenger als üblich, weil der Spread geschätzt wurde. In statsmodels ist das coint(y, x).

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Ein Fünf-Tages-Spread von HandNehmen wir

x=1,2,3,4,5

und

y=3,5,6,9,10

. Die Regression ergibt

\hat\beta=18/10=1{,}8

, der Spread

y-1{,}8x

ist also

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

mit Mittelwert

1{,}2

und Standardabweichung

0{,}447

. Der heutige Spread

1{,}0

hat den z-Wert

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: etwas unter normal. Folgt der Spread

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, schließt sich eine Lücke in

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

Tagen zur Hälfte. Eine Testregression

\Delta s=\gamma s_{t-1}

mit

\hat\gamma=-0{,}1

und Standardfehler

0{,}04

hat

t=-2{,}5

, über dem kritischen

-3{,}34

, das Paar ist also nicht kointegriert. Mit echten Tagesdaten seit 2000 (

6\,696

Tage) ergibt die Regression eines Log-Preises auf einen anderen ein

R^2

von

0{,}85

bis

0{,}93

bei Paaren wie KO und PEP, XOM und CVX oder HD und LOW, doch die Engle-Granger-Statistiken sind

-2{,}69

-1{,}80

und

-3{,}97

: Nur HD und LOW besteht bei 5 % (

p=0{,}008

). Auch das ist fragil: Jede Stichprobenhälfte allein fällt durch (

t=-1{,}58

und

-2{,}63

), und die Hedge-Ratio wandert von

0{,}13

auf

0{,}93

. Der Spread der Gesamtstichprobe hat

\phi=0{,}998

, eine Halbwertszeit von etwa

332

Tagen, zu langsam zum Handeln. Zum Vergleich zeigen in

1000

simulierten Paaren unabhängiger Irrfahrten

85\%

eine Steigung mit

|t|>1{,}96

Ein hohes R² ist kein BelegZwei wandernde Preise wirken stets verwandt, wenn man den einen auf den anderen regressiert. Nur die Stationarität des Spreads, getestet mit den Engle-Granger-Werten, zeigt, dass der Zusammenhang echt ist. Prüfen Sie die Stabilität über Teilperioden, bevor Sie ihn handeln.

Zwei Schritte: für die Hedge-Ratio regressieren, dann den Spread mit Engle-Granger-Werten auf eine Einheitswurzel testen.
Die Halbwertszeit zeigt, ob eine echte Rückkehr zum Mittelwert schnell genug zum Handeln ist.

Lab: Was bewertet wird

Die Hedge-Ratio10 Pkt.
Der mittlere Spread10 Pkt.
Ein z-Wert15 Pkt.
Eine Halbwertszeit15 Pkt.
Eine Dickey-Fuller-Statistik15 Pkt.
Den Test lesen10 Pkt.
Bestehen reicht nicht25 Pkt.

Zwei Preise, die zusammenbleiben

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Ein Fünf-Tages-Spread von HandNehmen wir

x=1,2,3,4,5

und

y=3,5,6,9,10

. Die Regression ergibt

\hat\beta=18/10=1{,}8

, der Spread

y-1{,}8x

ist also

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

mit Mittelwert

1{,}2

und Standardabweichung

0{,}447

. Der heutige Spread

1{,}0

hat den z-Wert

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: etwas unter normal. Folgt der Spread

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, schließt sich eine Lücke in

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

Tagen zur Hälfte. Eine Testregression

\Delta s=\gamma s_{t-1}

mit

\hat\gamma=-0{,}1

und Standardfehler

0{,}04

hat

t=-2{,}5

, über dem kritischen

-3{,}34

, das Paar ist also nicht kointegriert. Mit echten Tagesdaten seit 2000 (

6\,696

Tage) ergibt die Regression eines Log-Preises auf einen anderen ein

R^2

von

0{,}85

bis

0{,}93

bei Paaren wie KO und PEP, XOM und CVX oder HD und LOW, doch die Engle-Granger-Statistiken sind

-2{,}69

-1{,}80

und

-3{,}97

: Nur HD und LOW besteht bei 5 % (

p=0{,}008

). Auch das ist fragil: Jede Stichprobenhälfte allein fällt durch (

t=-1{,}58

und

-2{,}63

), und die Hedge-Ratio wandert von

0{,}13

auf

0{,}93

. Der Spread der Gesamtstichprobe hat

\phi=0{,}998

, eine Halbwertszeit von etwa

332

Tagen, zu langsam zum Handeln. Zum Vergleich zeigen in

1000

simulierten Paaren unabhängiger Irrfahrten

85\%

eine Steigung mit

|t|>1{,}96

Zwei Schritte: für die Hedge-Ratio regressieren, dann den Spread mit Engle-Granger-Werten auf eine Einheitswurzel testen.
Die Halbwertszeit zeigt, ob eine echte Rückkehr zum Mittelwert schnell genug zum Handeln ist.

Lab: Was bewertet wird

Die Hedge-Ratio10 Pkt.
Der mittlere Spread10 Pkt.
Ein z-Wert15 Pkt.
Eine Halbwertszeit15 Pkt.
Eine Dickey-Fuller-Statistik15 Pkt.
Den Test lesen10 Pkt.
Bestehen reicht nicht25 Pkt.

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