Cointégration et paires

Deux prix qui restent ensemble

Les prix dérivent : ils se comportent comme des marches aléatoires, donc chacun est non stationnaire. Deux séries qui dérivent sont cointégrées quand une combinaison d'elles ne dérive pas : l'écart $s_t=y_t-\beta x_t$ revient toujours vers une moyenne. C'est l'idée du trading de paires. Le test d'Engle–Granger comporte deux étapes. D'abord on régresse $y$ sur $x$ par moindres carrés pour obtenir le ratio de couverture $\hat\beta$ et l'écart. Puis on fait un test de Dickey–Fuller augmenté sur l'écart : $\Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t$ , et l'on demande si $\gamma<0$ . La statistique t doit être sous des valeurs critiques spéciales, environ $-3{,}34$ à 5 % pour deux séries, plus strictes que d'habitude car l'écart a été estimé. Dans statsmodels c'est coint(y, x).

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Un écart sur cinq jours à la mainPrenons

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. La régression donne

\hat\beta=18/10=1{,}8

, donc l'écart

y-1{,}8x

vaut

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, de moyenne

1{,}2

et d'écart type

0{,}447

. L'écart du jour

1{,}0

a pour z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: un peu sous la normale. Si l'écart suit

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, un écart se réduit de moitié en

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

jours. Une régression de test

\Delta s=\gamma s_{t-1}

avec

\hat\gamma=-0{,}1

et une erreur standard

0{,}04

t=-2{,}5

, au-dessus du critique

-3{,}34

, donc on ne peut pas parler de paire cointégrée. Sur données quotidiennes réelles depuis 2000 (

6\,696

jours), régresser un log-prix sur un autre donne un

R^2

0{,}85

0{,}93

pour des paires comme KO et PEP, XOM et CVX ou HD et LOW, et pourtant les statistiques d'Engle–Granger sont

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: seule HD et LOW passe à 5 % (

p=0{,}008

). Même cela est fragile : chaque moitié d'échantillon échoue seule (

t=-1{,}58

-2{,}63

) et le ratio de couverture passe de

0{,}13

0{,}93

. L'écart sur tout l'échantillon a

\phi=0{,}998

, une demi-vie d'environ

332

jours, trop lente pour trader. En comparaison, sur

1000

paires simulées de marches aléatoires indépendantes,

85\%

montrent une pente avec

|t|>1{,}96

Un R carré élevé n'est pas une preuveDeux prix qui dérivent semblent toujours liés quand on régresse l'un sur l'autre. Seule la stationnarité de l'écart, testée avec les valeurs critiques d'Engle–Granger, dit que le lien est réel. Vérifiez la stabilité sur des sous-périodes avant de le trader.

Deux étapes : régresser pour le ratio de couverture, puis tester une racine unitaire dans l'écart avec les valeurs d'Engle–Granger.
La demi-vie dit si un vrai retour à la moyenne est assez rapide pour être tradé.

Lab : ce qui est noté

Le ratio de couverture10 pts
L'écart moyen10 pts
Un z-score15 pts
Une demi-vie15 pts
Une statistique de Dickey–Fuller15 pts
Lire le test10 pts
Réussir ne suffit pas25 pts

Deux prix qui restent ensemble

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Un écart sur cinq jours à la mainPrenons

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. La régression donne

\hat\beta=18/10=1{,}8

, donc l'écart

y-1{,}8x

vaut

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, de moyenne

1{,}2

et d'écart type

0{,}447

. L'écart du jour

1{,}0

a pour z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: un peu sous la normale. Si l'écart suit

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, un écart se réduit de moitié en

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

jours. Une régression de test

\Delta s=\gamma s_{t-1}

avec

\hat\gamma=-0{,}1

et une erreur standard

0{,}04

t=-2{,}5

, au-dessus du critique

-3{,}34

, donc on ne peut pas parler de paire cointégrée. Sur données quotidiennes réelles depuis 2000 (

6\,696

jours), régresser un log-prix sur un autre donne un

R^2

0{,}85

0{,}93

pour des paires comme KO et PEP, XOM et CVX ou HD et LOW, et pourtant les statistiques d'Engle–Granger sont

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: seule HD et LOW passe à 5 % (

p=0{,}008

). Même cela est fragile : chaque moitié d'échantillon échoue seule (

t=-1{,}58

-2{,}63

) et le ratio de couverture passe de

0{,}13

0{,}93

. L'écart sur tout l'échantillon a

\phi=0{,}998

, une demi-vie d'environ

332

jours, trop lente pour trader. En comparaison, sur

1000

paires simulées de marches aléatoires indépendantes,

85\%

montrent une pente avec

|t|>1{,}96

Deux étapes : régresser pour le ratio de couverture, puis tester une racine unitaire dans l'écart avec les valeurs d'Engle–Granger.
La demi-vie dit si un vrai retour à la moyenne est assez rapide pour être tradé.

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Le ratio de couverture10 pts
L'écart moyen10 pts
Un z-score15 pts
Une demi-vie15 pts
Une statistique de Dickey–Fuller15 pts
Lire le test10 pts
Réussir ne suffit pas25 pts

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