Cointegración y pares

Dos precios que permanecen juntos

Los precios vagan: se comportan como paseos aleatorios, así que cada uno es no estacionario. Dos series que vagan están cointegradas cuando alguna combinación de ellas no vaga: el diferencial $s_t=y_t-\beta x_t$ vuelve siempre hacia una media. Esa es la idea del trading de pares. La prueba de Engle–Granger tiene dos pasos. Primero se regresa $y$ sobre $x$ por mínimos cuadrados para obtener la razón de cobertura $\hat\beta$ y el diferencial. Luego se hace una prueba de Dickey–Fuller aumentada sobre el diferencial: $\Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t$ , y se pregunta si $\gamma<0$ . El estadístico t debe estar por debajo de valores críticos especiales, cerca de $-3{,}34$ al 5 % para dos series, más estrictos que los habituales porque el diferencial fue estimado. En statsmodels es coint(y, x).

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Un diferencial de cinco días a manoTomemos

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. La regresión da

\hat\beta=18/10=1{,}8

, así que el diferencial

y-1{,}8x

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, con media

1{,}2

y desviación típica

0{,}447

. El diferencial de hoy

1{,}0

tiene z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: algo por debajo de lo normal. Si el diferencial sigue

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, una brecha se cierra a la mitad en

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

días. Una regresión de prueba

\Delta s=\gamma s_{t-1}

con

\hat\gamma=-0{,}1

y error estándar

0{,}04

tiene

t=-2{,}5

, por encima del crítico

-3{,}34

, así que no se puede llamar cointegrado al par. Con datos diarios reales desde 2000 (

6\,696

días), regresar un log-precio sobre otro da un

R^2

0{,}85

0{,}93

en pares como KO y PEP, XOM y CVX o HD y LOW, y sin embargo los estadísticos de Engle–Granger son

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: solo HD y LOW pasa al 5 % (

p=0{,}008

). Incluso eso es frágil: cada mitad de la muestra por separado falla (

t=-1{,}58

-2{,}63

) y la razón de cobertura pasa de

0{,}13

0{,}93

. El diferencial de toda la muestra tiene

\phi=0{,}998

, una vida media de unos

332

días, demasiado lenta para operar. Como comparación, en

1000

pares simulados de paseos aleatorios independientes, el

85\%

muestra una pendiente con

|t|>1{,}96

Un R cuadrado alto no es evidenciaDos precios que vagan siempre parecen relacionados al regresar uno sobre otro. Solo la estacionariedad del diferencial, probada con los valores críticos de Engle–Granger, dice que el vínculo es real. Compruebe la estabilidad en subperiodos antes de operarlo.

Dos pasos: regresar para la razón de cobertura y luego probar una raíz unitaria en el diferencial con los valores de Engle–Granger.
La vida media dice si una reversión real a la media es lo bastante rápida para operarse.

Lab: qué se califica

La razón de cobertura10 pts
El diferencial medio10 pts
Un z-score15 pts
Una vida media15 pts
Un estadístico de Dickey–Fuller15 pts
Leer la prueba10 pts
Pasar no basta25 pts

Dos precios que permanecen juntos

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Un diferencial de cinco días a manoTomemos

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. La regresión da

\hat\beta=18/10=1{,}8

, así que el diferencial

y-1{,}8x

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, con media

1{,}2

y desviación típica

0{,}447

. El diferencial de hoy

1{,}0

tiene z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: algo por debajo de lo normal. Si el diferencial sigue

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, una brecha se cierra a la mitad en

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

días. Una regresión de prueba

\Delta s=\gamma s_{t-1}

con

\hat\gamma=-0{,}1

y error estándar

0{,}04

tiene

t=-2{,}5

, por encima del crítico

-3{,}34

, así que no se puede llamar cointegrado al par. Con datos diarios reales desde 2000 (

6\,696

días), regresar un log-precio sobre otro da un

R^2

0{,}85

0{,}93

en pares como KO y PEP, XOM y CVX o HD y LOW, y sin embargo los estadísticos de Engle–Granger son

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: solo HD y LOW pasa al 5 % (

p=0{,}008

). Incluso eso es frágil: cada mitad de la muestra por separado falla (

t=-1{,}58

-2{,}63

) y la razón de cobertura pasa de

0{,}13

0{,}93

. El diferencial de toda la muestra tiene

\phi=0{,}998

, una vida media de unos

332

días, demasiado lenta para operar. Como comparación, en

1000

pares simulados de paseos aleatorios independientes, el

85\%

muestra una pendiente con

|t|>1{,}96

Dos pasos: regresar para la razón de cobertura y luego probar una raíz unitaria en el diferencial con los valores de Engle–Granger.
La vida media dice si una reversión real a la media es lo bastante rápida para operarse.

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La razón de cobertura10 pts
El diferencial medio10 pts
Un z-score15 pts
Una vida media15 pts
Un estadístico de Dickey–Fuller15 pts
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