Cointegração e pares

Dois preços que ficam juntos

Os preços vagueiam: comportam-se como passeios aleatórios, então cada um é não estacionário. Duas séries que vagueiam são cointegradas quando alguma combinação delas não vagueia: o diferencial $s_t=y_t-\beta x_t$ volta sempre a uma média. É a ideia do trading de pares. O teste de Engle–Granger tem dois passos. Primeiro regride-se $y$ em $x$ por mínimos quadrados para obter a razão de hedge $\hat\beta$ e o diferencial. Depois faz-se um teste de Dickey–Fuller aumentado no diferencial: $\Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t$ , e pergunta-se se $\gamma<0$ . A estatística t precisa estar abaixo de valores críticos especiais, cerca de $-3{,}34$ a 5 % para duas séries, mais rígidos que os usuais porque o diferencial foi estimado. No statsmodels é coint(y, x).

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Um diferencial de cinco dias à mãoTomemos

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. A regressão dá

\hat\beta=18/10=1{,}8

, então o diferencial

y-1{,}8x

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, com média

1{,}2

e desvio-padrão

0{,}447

. O diferencial de hoje

1{,}0

tem z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: um pouco abaixo do normal. Se o diferencial segue

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, uma lacuna se fecha pela metade em

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

dias. Uma regressão de teste

\Delta s=\gamma s_{t-1}

com

\hat\gamma=-0{,}1

e erro-padrão

0{,}04

tem

t=-2{,}5

, acima do crítico

-3{,}34

, então não se pode chamar o par de cointegrado. Em dados diários reais desde 2000 (

6\,696

dias), regredir um log-preço em outro dá

R^2

0{,}85

0{,}93

em pares como KO e PEP, XOM e CVX ou HD e LOW, e no entanto as estatísticas de Engle–Granger são

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: só HD e LOW passa a 5 % (

p=0{,}008

). Até isso é frágil: cada metade da amostra sozinha falha (

t=-1{,}58

-2{,}63

) e a razão de hedge vai de

0{,}13

0{,}93

. O diferencial da amostra inteira tem

\phi=0{,}998

, meia-vida de cerca de

332

dias, lenta demais para negociar. Para comparar, em

1000

pares simulados de passeios aleatórios independentes,

85\%

mostram uma inclinação com

|t|>1{,}96

Um R ao quadrado alto não é evidênciaDois preços que vagueiam sempre parecem relacionados quando se regride um no outro. Só a estacionariedade do diferencial, testada com os valores críticos de Engle–Granger, diz que a ligação é real. Verifique a estabilidade em subperíodos antes de negociá-lo.

Dois passos: regredir para a razão de hedge e depois testar raiz unitária no diferencial com os valores de Engle–Granger.
A meia-vida diz se uma reversão real à média é rápida o bastante para negociar.

Lab: o que é avaliado

A razão de hedge10 pts
O diferencial médio10 pts
Um z-score15 pts
Uma meia-vida15 pts
Uma estatística de Dickey–Fuller15 pts
Ler o teste10 pts
Passar não basta25 pts

Dois preços que ficam juntos

s_t=y_t-\hat\beta x_t,\qquad \Delta s_t=\gamma s_{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \phi=1+\gamma,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln 0.5}{\ln\phi}

(1)

Um diferencial de cinco dias à mãoTomemos

x=1,2,3,4,5

y=3,5,6,9,10

. A regressão dá

\hat\beta=18/10=1{,}8

, então o diferencial

y-1{,}8x

1{,}2;1{,}4;0{,}6;1{,}8;1{,}0

, com média

1{,}2

e desvio-padrão

0{,}447

. O diferencial de hoje

1{,}0

tem z-score

(1{,}0-1{,}2)/0{,}447=-0{,}45

: um pouco abaixo do normal. Se o diferencial segue

s_t=0{,}9\,s_{t-1}+\varepsilon

, uma lacuna se fecha pela metade em

\ln0{,}5/\ln0{,}9=6{,}58

dias. Uma regressão de teste

\Delta s=\gamma s_{t-1}

com

\hat\gamma=-0{,}1

e erro-padrão

0{,}04

tem

t=-2{,}5

, acima do crítico

-3{,}34

, então não se pode chamar o par de cointegrado. Em dados diários reais desde 2000 (

6\,696

dias), regredir um log-preço em outro dá

R^2

0{,}85

0{,}93

em pares como KO e PEP, XOM e CVX ou HD e LOW, e no entanto as estatísticas de Engle–Granger são

-2{,}69

-1{,}80

-3{,}97

: só HD e LOW passa a 5 % (

p=0{,}008

). Até isso é frágil: cada metade da amostra sozinha falha (

t=-1{,}58

-2{,}63

) e a razão de hedge vai de

0{,}13

0{,}93

. O diferencial da amostra inteira tem

\phi=0{,}998

, meia-vida de cerca de

332

dias, lenta demais para negociar. Para comparar, em

1000

pares simulados de passeios aleatórios independentes,

85\%

mostram uma inclinação com

|t|>1{,}96

Dois passos: regredir para a razão de hedge e depois testar raiz unitária no diferencial com os valores de Engle–Granger.
A meia-vida diz se uma reversão real à média é rápida o bastante para negociar.

Lab: o que é avaliado

A razão de hedge10 pts
O diferencial médio10 pts
Um z-score15 pts
Uma meia-vida15 pts
Uma estatística de Dickey–Fuller15 pts
Ler o teste10 pts
Passar não basta25 pts

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