Modelar los bordes, no el centro
Los mínimos cuadrados modelan el promedio. El riesgo vive en las colas: los peores días de una acción pueden reaccionar a una variable que apenas mueve su día medio. La regresión cuantílica ajusta directamente un cuantil elegido τ de la respuesta, por ejemplo el cuantil del 5 % sobre el que se construye un límite de valor en riesgo. Minimiza la pérdida de verificación (pinball) ρτ(u)=u(τ−1[u<0]) sobre los residuos u=y−q. Los residuos positivos se ponderan por τ y los negativos por 1−τ, así que para τ=0,9 una estimación demasiado baja cuesta nueve veces más que una demasiado alta, lo que empuja la estimación hacia el percentil 90. Para τ=0,5 la pérdida es la mitad del error absoluto y el minimizador es la mediana. En statsmodels se escribe smf.quantreg('y ~ vol', data).fit(q=0.05).
ρτ(u)=u(τ−1[u<0]),β^τ=argβmini∑ρτ(yi−xi⊤β),Qτ(y∣x)=x⊤βτ(1) La pérdida a mano y una recta de valor en riesgoTomemos
y=1,2,3,10,20. La mediana
3 tiene pérdida absoluta
2+1+0+7+17=27, mientras que la media
7,2 tiene
31,2. Para
τ=0,9 y la estimación
q=10 los residuos son
−9,−8,−7,0,10 y la pérdida es
0,1(9+8+7)+0,9⋅10=11,4, mientras que la estimación
q=20 cuesta solo
0,1(19+18+17+10)=6,4, porque cuatro de cinco puntos quedan por debajo, que es lo que debe verse en un cuantil del 90 %. Ahora datos reales: el rendimiento de SPY del día siguiente en porcentaje frente a la volatilidad de los últimos 20 días (también en porcentaje),
5384 días. Los mínimos cuadrados casi no encuentran efecto, con pendiente
0,011. La regresión cuantílica halla una pendiente de
−1,50 en
τ=0,05 (error estándar
0,05) y
+1,37 en
τ=0,95, y
0,03 en la mediana. Con volatilidad
1% los cuantiles ajustados son
−1,77%,
0,07% y
1,64%, y con
2% son
−3,27%,
0,10% y
3,01%: una banda de ancho
6,28 puntos. Las colas se abren con la volatilidad mientras el centro apenas se mueve. Como límite de valor en riesgo, la recta ajustada de
τ=0,05 se supera el
5,0% de los días en total, y el
7,2% de los
263 días con volatilidad superior al
2%, donde el límite normal constante de
−1,92% se supera el
22,4% y solo el
1,3% de los
2600 días tranquilos por debajo de
0,8%.
Dos precauciones. Las rectas cuantílicas ajustadas por separado pueden cruzarse, de modo que la del 5 % acaba por encima de la del 50 % en los extremos de x, algo que un analista cuidadoso comprueba. Y los errores estándar de la regresión cuantílica son por bootstrap o asintóticos, con las mismas preocupaciones de autocorrelación de antes, así que las estimaciones de cola con muestras cortas son ruidosas.
- Elija el cuantil que le importa: 5 % para el riesgo a la baja, 50 % para el caso típico, 95 % para el alza.
- Compruebe la cobertura por régimen: un límite correcto en conjunto puede estar mal en cada periodo tranquilo y en cada periodo agitado.
Lab: qué se califica
- Una pérdida absoluta15 pts
- Una pérdida pinball15 pts
- Un cuantil del 5 % predicho15 pts
- El ancho de la banda10 pts
- Superaciones esperadas15 pts
- Por qué falla el límite constante10 pts
- El promedio oculta la cola20 pts
