Modéliser les bords, pas le milieu
Les moindres carrés modélisent la moyenne. Le risque vit dans les queues : les pires jours d'une action peuvent réagir à une variable qui bouge à peine son jour moyen. La régression quantile ajuste directement un quantile choisi τ de la réponse, par exemple le quantile à 5 % sur lequel on construit une limite de valeur à risque. Elle minimise la perte en coche (pinball) ρτ(u)=u(τ−1[u<0]) sur les résidus u=y−q. Les résidus positifs sont pondérés par τ et les négatifs par 1−τ, donc pour τ=0,9 une estimation trop basse coûte neuf fois plus qu'une trop haute, ce qui pousse l'estimation vers le 90e percentile. Pour τ=0,5 la perte vaut la moitié de l'erreur absolue et le minimiseur est la médiane. Dans statsmodels on écrit smf.quantreg('y ~ vol', data).fit(q=0.05).
ρτ(u)=u(τ−1[u<0]),β^τ=argβmini∑ρτ(yi−xi⊤β),Qτ(y∣x)=x⊤βτ(1) La perte à la main et une droite de valeur à risquePrenons
y=1,2,3,10,20. La médiane
3 a une perte absolue
2+1+0+7+17=27, la moyenne
7,2 a
31,2. Pour
τ=0,9 et l'estimation
q=10 les résidus sont
−9,−8,−7,0,10 et la perte vaut
0,1(9+8+7)+0,9⋅10=11,4, tandis que l'estimation
q=20 ne coûte que
0,1(19+18+17+10)=6,4, car quatre points sur cinq sont en dessous, ce à quoi doit ressembler un quantile à 90 %. Passons aux données réelles : le rendement de SPY du lendemain en pour cent contre la volatilité des 20 derniers jours (aussi en pour cent),
5384 jours. Les moindres carrés ne trouvent presque aucun effet, avec une pente de
0,011. La régression quantile trouve une pente de
−1,50 à
τ=0,05 (erreur standard
0,05) et
+1,37 à
τ=0,95, et
0,03 à la médiane. À une volatilité de
1% les quantiles ajustés valent
−1,77%,
0,07% et
1,64%, et à
2% ils valent
−3,27%,
0,10% et
3,01% : une bande de largeur
6,28 points. Les queues s'ouvrent avec la volatilité tandis que le centre bouge à peine. Comme limite de valeur à risque, la droite ajustée à
τ=0,05 est franchie
5,0% des jours au total, et
7,2% des
263 jours de volatilité supérieure à
2%, où la limite normale constante de
−1,92% est franchie
22,4% du temps, contre seulement
1,3% des
2600 jours calmes sous
0,8%.
Deux précautions. Des droites quantiles ajustées séparément peuvent se croiser : la droite à 5 % finit au-dessus de celle à 50 % aux extrêmes de x, ce qu'un analyste prudent vérifie. Et les erreurs standard de la régression quantile sont par bootstrap ou asymptotiques, avec les mêmes soucis d'autocorrélation qu'avant, donc les estimations de queue sur de courts échantillons sont bruitées.
- Choisissez le quantile qui vous importe : 5 % pour le risque de baisse, 50 % pour le cas typique, 95 % pour la hausse.
- Vérifiez la couverture par régime : une limite juste globalement peut être fausse dans chaque période calme et chaque période agitée.
Lab : ce qui est noté
- Une perte absolue15 pts
- Une perte pinball15 pts
- Un quantile à 5 % prédit15 pts
- La largeur de la bande10 pts
- Dépassements attendus15 pts
- Pourquoi la limite constante échoue10 pts
- La moyenne cache la queue20 pts
