Verfolgen, was man nicht sieht
Ein Zustandsraummodell trennt, was real ist, von dem, was gemessen wird. Ein verborgener Zustand μt, etwa das wahre Volatilitätsniveau, bewegt sich von selbst, und beobachtet wird dieser Zustand plus Rauschen. Im Lokales-Niveau-Modell gilt yt=μt+εt mit εt∼N(0,r) und μt=μt−1+ηt mit ηt∼N(0,q). Die Messvarianz r sagt, wie verrauscht eine Ablesung ist, die Niveauvarianz q, wie schnell die Wahrheit driftet. In statsmodels passt die Klasse UnobservedComponents(y, 'llevel') dieses Modell an und schätzt q und r per Maximum Likelihood, man muss sie also nicht raten.
Der Kalman-Filter verwandelt jede neue Ablesung in eine aktualisierte Überzeugung, in zwei Schritten. Vorhersagen: Der Mittelwert bleibt, die Unsicherheit wächst, P−=P+q. Aktualisieren: Der Gewinn K=P−/(P−+r) sagt, wie viel der Überraschung y−a man glaubt, der neue Mittelwert ist a+K(y−a) und die neue Unsicherheit (1−K)P−. Fehlt eine Ablesung, macht man nur den Vorhersageschritt. Der Filter nutzt Daten bis heute, der Glätter blickt von der ganzen Stichprobe zurück und liefert die beste Schätzung jedes vergangenen Zustands.
P−=P+q,K=P−+rP−,a′=a+K(y−a),P′=(1−K)P−(1) Drei Monate von HandBeginnen wir mit der Überzeugung
a=10,
P=4 und nehmen
q=1,
r=5. Monat eins:
P−=5,
K=5/10=0,5, und eine Ablesung
12 ergibt
a=10+0,5⋅2=11 und
P=0,5⋅5=2,5. Monat zwei:
P−=3,5,
K=3,5/8,5=0,4118, eine Ablesung
9 ergibt die Überraschung
−2, also
a=11−0,4118⋅2=10,18 und
P=0,5882⋅3,5=2,06. Monat drei hat keine Ablesung: Nur der Vorhersageschritt läuft,
a bleibt
10,18, und
P wächst auf
2,06+1=3,06. Mit echten Daten nehmen wir den Logarithmus der annualisierten realisierten Volatilität von SPY für jeden der
259 Monate seit Februar 2005. Maximum Likelihood liefert
r^=0,0889 und
q^=0,0449, also
q/r=0,50, und der stationäre Gewinn ist
K=0,50: Jeder neue Monat verschiebt die Volatilitätsschätzung halb zur letzten Ablesung. Das ist genau ein ARIMA(0,1,1) mit MA-Koeffizient
−0,498=−(1−K) und derselben Log-Likelihood
−151,09. Am Stichprobenende liegt das gefilterte Niveau bei
12,4% annualisiert gegenüber einer letzten Ablesung von
11,7%, mit einem Standardfehler von
0,21 in Logs, also einem 95-%-Band von etwa
8% bis
19%.
Gefiltert oder geglättetNehmen Sie die gefilterte Schätzung für alles, was Sie damals hätten wissen können, etwa eine Handelsregel oder einen Backtest. Die geglättete Schätzung nutzt künftige Daten und dient nur der Beschreibung der Vergangenheit.
Lab: Was bewertet wird
- Die vorhergesagte Varianz10 Pkt.
- Der Kalman-Gewinn15 Pkt.
- Der aktualisierte Mittelwert15 Pkt.
- Die aktualisierte Varianz10 Pkt.
- Der Gewinn des Folgemonats15 Pkt.
- Eine fehlende Ablesung10 Pkt.
- Das Signal-Rausch-Verhältnis25 Pkt.
