VAR und Granger-Kausalität

Variablen, die sich gegenseitig vorhersagen

Eine Vektorautoregression, VAR, modelliert mehrere Reihen gemeinsam. Jede Variable wird auf die vergangenen Werte aller Variablen regressiert, für zwei Reihen $x$ und $y$ und eine Verzögerung also $y_t=c+A\,y_{t-1}+u_t$ mit $y_t=(x_t,y_t)^\top$ und einer $2\times2$-Matrix $A$. Jede Gleichung wird mit der gewöhnlichen Kleinste-Quadrate-Methode angepasst, und in statsmodels erledigt VAR(data).fit(p) alle auf einmal. Das Modell ist stabil, wenn alle Eigenwerte von $A$ im Einheitskreis liegen, Schocks also abklingen statt zu explodieren. Prognosen entstehen durch wiederholte Multiplikation. Die Ordnung $p$ wählt man durch Vergleich von Informationskriterien wie AIC und BIC, die Anpassung belohnen und zusätzliche Koeffizienten bestrafen.

Granger-Kausalität stellt eine enge Frage: Helfen vergangene Werte von $y$, $x$ vorherzusagen, wenn die vergangenen Werte von $x$ selbst bekannt sind? Man passt die Gleichung für $x$ zweimal an, einmal mit den Verzögerungen von $y$ (uneingeschränkt, Residuenquadratsumme $\mathrm{RSS}_u$) und einmal ohne sie (eingeschränkt, $\mathrm{RSS}_r$), und vergleicht mit einer F-Statistik. Ein signifikantes Ergebnis besagt, dass $y$ zeitlich vor $x$ liegt. Es beweist nicht, dass $y$ $x$ verursacht: Eine dritte Variable oder vorausschauende Anleger können dasselbe Muster erzeugen.

Mit echten Monatsdaten, $258$ Monate seit März 2005, nehmen wir die SPY-Rendite in Prozent und den Spread zehnjährige minus zweijährige Staatsanleihe. Das AIC wählt $3$ Verzögerungen, das BIC $1$, und ein VAR(2) ist stabil, wobei die nächste Wurzel bei $1{,}02$ liegt, weil der Spread sehr persistent ist (seine eigenen Verzögerungen summieren sich auf $0{,}98$). Der Granger-Test, ob der Spread bei der Vorhersage der Renditen hilft, ergibt $F=0{,}22$ ($p=0{,}81$), ob Renditen bei der Vorhersage des Spreads helfen, $F=1{,}88$ ($p=0{,}15$). Keine Richtung ist signifikant: Die Steigung der Zinskurve bringt einer monatlichen SPY-Prognose nichts.

Lab: Was bewertet wird

• Ein Schritt voraus10 Pkt.
• Zwei Schritte voraus15 Pkt.
• Der größte Eigenwert15 Pkt.
• Eine Granger-F-Statistik15 Pkt.
• Koeffizienten zählen15 Pkt.
• Einen Granger-Test lesen10 Pkt.
• Vorhersage ist keine Verursachung20 Pkt.