互相预测的变量
向量自回归 VAR 把多个序列放在一起建模。每个变量对所有变量的过去值回归，对两个序列 x、y 和一阶滞后，有 yt=c+Ayt−1+ut，其中 yt=(xt,yt)⊤，A 是 2×2 矩阵。每个方程用普通最小二乘估计，statsmodels 里 VAR(data).fit(p) 一次完成。当 A 的所有特征值都在单位圆内时模型稳定，冲击会消退而不是爆炸。预测通过反复相乘得到。滞后阶数 p 通过比较 AIC、BIC 等信息准则来选，它们奖励拟合并惩罚多余系数。
格兰杰因果检验问一个狭窄的问题：在已知 x 自身过去值的前提下，y 的过去值是否有助于预测 x？对 x 的方程拟合两次，一次包含 y 的滞后项（无约束，残差平方和 RSSu），一次不含（有约束，RSSr），再用 F 统计量比较。显著的结果说明 y 在时间上领先 x，但并不证明 y 导致 x：第三个变量或提前预期的投资者都可能产生同样的模式。
yt=c+A1yt−1+⋯+Apyt−p+ut,F=RSSu/(n−k)(RSSr−RSSu)/q,∣λi(A)∣<1(1) 手算两变量 VAR设
A=(0.50.10.20.6)，从
(x,y)=(1,2) 出发。向前一步为
(0.5⋅1+0.2⋅2,0.1⋅1+0.6⋅2)=(0.9,1.3)，两步为
(0.5⋅0.9+0.2⋅1.3,0.1⋅0.9+0.6⋅1.3)=(0.71,0.87)。迹为
1.1，行列式为
0.5⋅0.6−0.2⋅0.1=0.28，所以特征值满足
λ2−1.1λ+0.28=0，等于
0.7 和
0.4，都在单位圆内，系统稳定。做 F 检验时，若去掉
y 的滞后项使残差平方和从
RSSu=10 升到
RSSr=12，
q=2 个约束、
n−k=40，则
F=10/40(12−10)/2=4.0，高于 5% 临界值
3.23。
用真实月度数据，从 2005 年 3 月起共 258 个月，取 SPY 收益（百分数）和 10 年期减 2 年期美债利差。AIC 选 3 阶滞后，BIC 选 1 阶，VAR(2) 稳定，最近的根为 1.02，因为利差非常持久（其自身滞后系数之和为 0.98）。检验利差是否有助于预测收益，得 F=0.22（p=0.81）；检验收益是否有助于预测利差，得 F=1.88（p=0.15）。两个方向都不显著：知道收益率曲线的斜率对 SPY 的月度预测没有任何帮助。
实验：评分内容
- 向前一步10 分
- 向前两步15 分
- 最大特征值15 分
- 格兰杰 F 统计量15 分
- 数系数15 分
- 解读格兰杰检验10 分
- 预测不等于因果20 分
