追踪看不见的东西
状态空间模型把真实的东西和测量到的东西分开。隐藏状态 μt（例如真实的波动率水平）自己演变，观测到的是该状态加噪声。局部水平模型为 yt=μt+εt，εt∼N(0,r)，μt=μt−1+ηt，ηt∼N(0,q)。观测方差 r 表示读数有多嘈杂，水平方差 q 表示真实值漂移得多快。statsmodels 里的 UnobservedComponents(y, 'llevel') 拟合该模型，并用极大似然估计 q 和 r，无需自己猜。
卡尔曼滤波把每个新读数变成更新后的信念，分两步。预测：均值不变，不确定性增大，P−=P+q。更新：增益 K=P−/(P−+r) 决定相信多少“意外” y−a，新均值为 a+K(y−a)，新不确定性为 (1−K)P−。读数缺失时只做预测步。滤波只用到今天为止的数据，平滑则利用整个样本回看，给出每个过去状态的最佳估计。
P−=P+q,K=P−+rP−,a′=a+K(y−a),P′=(1−K)P−(1) 三个月的手算从信念
a=10、
P=4 开始，取
q=1、
r=5。第一个月：
P−=5，
K=5/10=0.5，读数
12 得
a=10+0.5⋅2=11，
P=0.5⋅5=2.5。第二个月：
P−=3.5，
K=3.5/8.5=0.4118，读数
9 的意外为
−2，所以
a=11−0.4118⋅2=10.18，
P=0.5882⋅3.5=2.06。第三个月没有读数：只做预测步，
a 保持
10.18，
P 增至
2.06+1=3.06。看真实数据：取 2005 年 2 月以来
259 个月 SPY 年化已实现波动率的对数。极大似然得
r^=0.0889、
q^=0.0449，所以
q/r=0.50，稳态增益为
K=0.50：每个新月份把波动率估计向最新读数移动一半。这恰好是一个 ARIMA(0,1,1)，移动平均系数为
−0.498=−(1−K)，对数似然同为
−151.09。样本末尾，滤波后的水平为年化
12.4%，最后读数为
11.7%，对数标准误为
0.21，因此 95% 区间约为
8% 到
19%。
滤波还是平滑凡是当时可能已知的用途（如交易规则或回测）都应使用滤波估计。平滑估计用到了未来数据，只能用来描述过去。
实验：评分内容
- 预测方差10 分
- 卡尔曼增益15 分
- 更新后的均值15 分
- 更新后的方差10 分
- 下个月的增益15 分
- 缺失的读数10 分
- 信噪比25 分
