نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبّع ما لا تراه

يفصل نموذج فضاء الحالة بين ما هو حقيقي وما هو مقيس. حالة خفية $\mu_t$ مثل المستوى الحقيقي للتقلب تتحرك من تلقاء نفسها وما تراه هو تلك الحالة مع ضوضاء. ففي نموذج المستوى المحلي $y_t=\mu_t+\varepsilon_t$ مع $\varepsilon_t\sim N(0,r)$ و $\mu_t=\mu_{t-1}+\eta_t$ مع $\eta_t\sim N(0,q)$ . يقول تباين القياس $r$ مدى ضوضاء القراءة ويقول تباين المستوى $q$ سرعة انجراف الحقيقة. وفي statsmodels يلائم الصنف UnobservedComponents(y, 'llevel') هذا النموذج ويقدّر $q$ و $r$ بالإمكان الأعظم فلا حاجة إلى تخمينهما.

يحوّل مرشح كالمان كل قراءة جديدة إلى اعتقاد محدَّث في خطوتين. التنبؤ: يبقى المتوسط وتكبر عدم اليقين $P^{-}=P+q$ . التحديث: يقول المكسب $K=P^{-}/(P^{-}+r)$ كم من المفاجأة $y-a$ يُصدَّق والمتوسط الجديد $a+K(y-a)$ وعدم اليقين الجديد $(1-K)P^{-}$ . وحين تغيب قراءة تُجرى خطوة التنبؤ فقط. يستخدم المرشح البيانات حتى اليوم بينما ينظر المُمهِّد إلى الوراء من العينة كلها ليعطي أفضل تقدير لكل حالة ماضية.

P^{-}=P+q,\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\qquad a'=a+K(y-a),\qquad P'=(1-K)P^{-}

(1)

ثلاثة أشهر يدويًالنبدأ باعتقاد

a=10

P=4

ونأخذ

q=1

r=5

. الشهر الأول:

P^{-}=5

K=5/10=0.5

وقراءة

12

تعطي

a=10+0.5\cdot2=11

P=0.5\cdot5=2.5

. الشهر الثاني:

P^{-}=3.5

K=3.5/8.5=0.4118

وقراءة

9

تعطي مفاجأة

-2

فيكون

a=11-0.4118\cdot2=10.18

P=0.5882\cdot3.5=2.06

. الشهر الثالث بلا قراءة: تعمل خطوة التنبؤ فقط فيبقى

a=10.18

ويكبر

P

إلى

2.06+1=3.06

. وعلى بيانات حقيقية خذ لوغاريتم التقلب المتحقق السنوي لـ SPY لكل شهر من الأشهر

259

منذ فبراير 2005. يعطي الإمكان الأعظم

\hat r=0.0889

\hat q=0.0449

أي

q/r=0.50

ويكون المكسب المستقر

K=0.50

: كل شهر جديد يحرّك تقدير التقلب إلى منتصف الطريق نحو آخر قراءة. وهذا هو بالضبط ARIMA(0,1,1) بمعامل متوسط متحرك

-0.498=-(1-K)

ونفس لوغاريتم الإمكانية

-151.09

. وفي نهاية العينة المستوى المرشَّح

12.4\%

سنويًا مقابل آخر قراءة

11.7\%

بخطأ معياري

0.21

في اللوغاريتم أي نطاق 95% من نحو

8\%

إلى

19\%

مرشَّح أم مُمهَّداستعمل التقدير المرشَّح لكل ما كان يمكن أن تعرفه وقتها كقاعدة تداول أو اختبار رجعي. أما التقدير الممهَّد فيستخدم بيانات مستقبلية ولا يصلح إلا لوصف الماضي.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

التباين المتوقع10 نقطة
مكسب كالمان15 نقطة
المتوسط المحدَّث15 نقطة
التباين المحدَّث10 نقطة
مكسب الشهر التالي15 نقطة
قراءة مفقودة10 نقطة
نسبة الإشارة إلى الضوضاء25 نقطة

تتبّع ما لا تراه

P^{-}=P+q,\qquad K=\frac{P^{-}}{P^{-}+r},\qquad a'=a+K(y-a),\qquad P'=(1-K)P^{-}

(1)

ثلاثة أشهر يدويًالنبدأ باعتقاد

a=10

P=4

ونأخذ

q=1

r=5

. الشهر الأول:

P^{-}=5

K=5/10=0.5

وقراءة

12

تعطي

a=10+0.5\cdot2=11

P=0.5\cdot5=2.5

. الشهر الثاني:

P^{-}=3.5

K=3.5/8.5=0.4118

وقراءة

9

تعطي مفاجأة

-2

فيكون

a=11-0.4118\cdot2=10.18

P=0.5882\cdot3.5=2.06

. الشهر الثالث بلا قراءة: تعمل خطوة التنبؤ فقط فيبقى

a=10.18

ويكبر

P

إلى

2.06+1=3.06

. وعلى بيانات حقيقية خذ لوغاريتم التقلب المتحقق السنوي لـ SPY لكل شهر من الأشهر

259

منذ فبراير 2005. يعطي الإمكان الأعظم

\hat r=0.0889

\hat q=0.0449

أي

q/r=0.50

ويكون المكسب المستقر

K=0.50

: كل شهر جديد يحرّك تقدير التقلب إلى منتصف الطريق نحو آخر قراءة. وهذا هو بالضبط ARIMA(0,1,1) بمعامل متوسط متحرك

-0.498=-(1-K)

ونفس لوغاريتم الإمكانية

-151.09

. وفي نهاية العينة المستوى المرشَّح

12.4\%

سنويًا مقابل آخر قراءة

11.7\%

بخطأ معياري

0.21

في اللوغاريتم أي نطاق 95% من نحو

8\%

إلى

19\%

المختبر: ما الذي يُقيَّم

التباين المتوقع10 نقطة
مكسب كالمان15 نقطة
المتوسط المحدَّث15 نقطة
التباين المحدَّث10 نقطة
مكسب الشهر التالي15 نقطة
قراءة مفقودة10 نقطة
نسبة الإشارة إلى الضوضاء25 نقطة

نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبّع ما لا تراه

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

نماذج فضاء الحالة ومرشح كالمان

تتبّع ما لا تراه

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.