VAR et causalité de Granger

Des variables qui se prédisent mutuellement

Une autorégression vectorielle, VAR, modélise plusieurs séries ensemble. Chaque variable est régressée sur les valeurs passées de toutes les variables, donc pour deux séries $x$ et $y$ et un retard, $y_t=c+A\,y_{t-1}+u_t$ avec $y_t=(x_t,y_t)^\top$ et une matrice $A$ de taille $2\times2$ . Chaque équation est ajustée par moindres carrés ordinaires, et dans statsmodels VAR(data).fit(p) les fait toutes d'un coup. Le modèle est stable quand toutes les valeurs propres de $A$ sont dans le cercle unité, ce qui veut dire que les chocs s'éteignent au lieu d'exploser. Les prévisions s'obtiennent par multiplications répétées. Pour choisir l'ordre $p$ on compare des critères d'information comme AIC et BIC, qui récompensent l'ajustement et pénalisent les coefficients en plus.

La causalité de Granger pose une question étroite : les valeurs passées de $y$ aident-elles à prévoir $x$ une fois connues les valeurs passées de $x$ lui-même ? On ajuste l'équation de $x$ deux fois, avec les retards de $y$ (non contrainte, somme des carrés des résidus $\mathrm{RSS}_u$ ) et sans eux (contrainte, $\mathrm{RSS}_r$ ), et l'on compare par une statistique F. Un résultat significatif dit que $y$ précède $x$ dans le temps. Cela ne prouve pas que $y$ cause $x$ : une troisième variable, ou des investisseurs qui anticipent, peuvent produire le même motif.

y_t=c+A_1y_{t-1}+\cdots+A_py_{t-p}+u_t,\qquad F=\frac{(\mathrm{RSS}_r-\mathrm{RSS}_u)/q}{\mathrm{RSS}_u/(n-k)},\qquad |\lambda_i(A)|<1

(1)

Un VAR à deux variables à la mainSoit

A=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}1&0{,}6\end{pmatrix}

et partons de

(x,y)=(1,2)

. Un pas en avant donne

(0{,}5\cdot1+0{,}2\cdot2;\;0{,}1\cdot1+0{,}6\cdot2)=(0{,}9;1{,}3)

et deux pas

(0{,}5\cdot0{,}9+0{,}2\cdot1{,}3;\;0{,}1\cdot0{,}9+0{,}6\cdot1{,}3)=(0{,}71;0{,}87)

. La trace vaut

1{,}1

et le déterminant

0{,}5\cdot0{,}6-0{,}2\cdot0{,}1=0{,}28

, donc les valeurs propres résolvent

\lambda^2-1{,}1\lambda+0{,}28=0

et valent

0{,}7

0{,}4

: toutes deux dans le cercle unité, le système est stable. Pour le test F, si retirer les retards de

y

fait passer la somme des carrés de

\mathrm{RSS}_u=10

\mathrm{RSS}_r=12

, avec

q=2

restrictions et

n-k=40

, alors

F=\frac{(12-10)/2}{10/40}=4{,}0

, au-dessus de la valeur critique à 5 % de

3{,}23

Sur des données mensuelles réelles, $258$ mois depuis mars 2005, prenons le rendement de SPY en pour cent et l'écart de rendement Trésor 10 ans moins 2 ans. L'AIC retient $3$ retards et le BIC $1$ , et un VAR(2) est stable, la racine la plus proche valant $1{,}02$ parce que l'écart est très persistant (ses propres retards totalisent $0{,}98$ ). Le test de Granger de savoir si l'écart aide à prévoir les rendements donne $F=0{,}22$ ( $p=0{,}81$ ), et si les rendements aident à prévoir l'écart donne $F=1{,}88$ ( $p=0{,}15$ ). Aucun sens n'est significatif : connaître la pente de la courbe des taux n'apporte rien à une prévision mensuelle de SPY.

Lab : ce qui est noté

Un pas en avant10 pts
Deux pas en avant15 pts
La plus grande valeur propre15 pts
Une statistique F de Granger15 pts
Compter les coefficients15 pts
Lire un test de Granger10 pts
Prédire n'est pas causer20 pts

Des variables qui se prédisent mutuellement

y_t=c+A_1y_{t-1}+\cdots+A_py_{t-p}+u_t,\qquad F=\frac{(\mathrm{RSS}_r-\mathrm{RSS}_u)/q}{\mathrm{RSS}_u/(n-k)},\qquad |\lambda_i(A)|<1

(1)

Un VAR à deux variables à la mainSoit

A=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}1&0{,}6\end{pmatrix}

et partons de

(x,y)=(1,2)

. Un pas en avant donne

(0{,}5\cdot1+0{,}2\cdot2;\;0{,}1\cdot1+0{,}6\cdot2)=(0{,}9;1{,}3)

et deux pas

(0{,}5\cdot0{,}9+0{,}2\cdot1{,}3;\;0{,}1\cdot0{,}9+0{,}6\cdot1{,}3)=(0{,}71;0{,}87)

. La trace vaut

1{,}1

et le déterminant

0{,}5\cdot0{,}6-0{,}2\cdot0{,}1=0{,}28

, donc les valeurs propres résolvent

\lambda^2-1{,}1\lambda+0{,}28=0

et valent

0{,}7

0{,}4

: toutes deux dans le cercle unité, le système est stable. Pour le test F, si retirer les retards de

y

fait passer la somme des carrés de

\mathrm{RSS}_u=10

\mathrm{RSS}_r=12

, avec

q=2

restrictions et

n-k=40

, alors

F=\frac{(12-10)/2}{10/40}=4{,}0

, au-dessus de la valeur critique à 5 % de

3{,}23

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Un pas en avant10 pts
Deux pas en avant15 pts
La plus grande valeur propre15 pts
Une statistique F de Granger15 pts
Compter les coefficients15 pts
Lire un test de Granger10 pts
Prédire n'est pas causer20 pts

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