平均ではなく裾をモデル化する
最小二乗法は平均を当てはめ、Σeₜ² を最小化します。x が与えられたときの y の q 分位点は、結果の割合 q がそれ以下になる値で、分位点回帰はピンボール損失 Σρ_q(eₜ)（ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e)、e=y-pred）を最小化して当てはめます。過小予測は1単位あたり q、過大予測は 1-q の費用で、この非対称性が直線を q 分位点へ引っ張ります。q=0.5 では損失は絶対誤差の半分で、当てはめは中央値です。QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) は5%分位点を当てはめ、res.params は切片と傾きを持ちます。分位点ごとに傾きが異なりうるのがポイントで、x の効果は結果の中心ではなくばらつきに現れることがあります。
21日年率ボラティリティで、5,383日にわたってSPYの翌日リターンを予測します。傾きは5%分位点で -0.096、95%分位点で +0.087、中央値で 0.001、一方で最小二乗法は 0.0008 を示します。平均はボラティリティと共に動かず、裾は両方向に動きます。5%の当てはめはバリュー・アット・リスクの表 -(a+b·vol) になり、ボラティリティ 10% で 1.2%、20% で 2.2%、60% で 6.3% です。予測と同様に評価します。直近30%の日のピンボール損失は 0.001295 で、無条件の5%分位点の 0.001342 より小幅に良好です。予測分位点を下回る日の割合であるカバー率は、どこでも 5% 付近であるべきです。無条件VaRは静かな日の 2.2%、荒れた日の 7.8% で破られ、条件付きは 6.7%、4.3%、2.8% で、より均衡していますが完璧ではなく、これが標本外の誠実さの姿です。
- 分位点回帰はピンボール損失 max(qe,(q-1)e) を最小化し、平均だけでなく任意の分位点を当てはめる。
- 傾きは分位点ごとに異なりうる。ボラティリティは翌日リターンの裾を動かし、平均は動かさない。
- カバー率を確認する。全体でもレジーム別でも、5%のVaRは約5%の頻度で破られるべき。
ラボ：採点される内容
- 分位点の当てはめ10点
- 分位点ごとの傾き10点
- 当てはめた分位点5点
- ピンボール損失15点
- カバー率5点
- ボラティリティ三分位ごとのカバー率15点
- バリュー・アット・リスク10点
- 標本外15点
- 分位点の研究15点