Modelar la cola, no la media
Los mínimos cuadrados ajustan la media: minimizan Σeₜ². El cuantil q de y dado x es el valor bajo el cual cae una proporción q de los resultados, y la regresión cuantílica lo ajusta minimizando la pérdida pinball Σρ_q(eₜ) con ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e) y e=y-pred. Un pronóstico por debajo cuesta q por unidad, uno por encima 1-q: la asimetría tira de la recta hacia el cuantil q. Con q=0,5 la pérdida es la mitad del error absoluto y el ajuste es la mediana. QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) ajusta el cuantil del 5 %; res.params contiene el intercepto y las pendientes. Cuantiles distintos pueden tener pendientes distintas, y ese es el punto: el efecto de x puede recaer en la dispersión del resultado, no en su centro.
Use la volatilidad anualizada a 21 días para predecir el rendimiento del día siguiente de SPY en 5.383 días. La pendiente es -0,096 en el cuantil del 5 %, +0,087 en el del 95 % y 0,001 en la mediana, mientras que los mínimos cuadrados hallan 0,0008: la media no se mueve con la volatilidad, las colas sí, en ambas direcciones. El ajuste del 5 % se convierte en una tabla de valor en riesgo, -(a+b·vol): 1,2 % con una volatilidad del 10 %, 2,2 % al 20 %, 6,3 % al 60 %. Júzguelo como un pronóstico. La pérdida pinball en el último 30 % de los días es 0,001295 frente a 0,001342 del cuantil del 5 % incondicional, una mejora modesta. La cobertura, la proporción de días con rendimiento bajo el cuantil predicho, debería rondar el 5 % en todas partes. El valor en riesgo incondicional se supera el 2,2 % de los días tranquilos y el 7,8 % de los agitados; el condicional da 6,7 %, 4,3 %, 2,8 %: mejor equilibrado, no perfecto, que es el aspecto de la honestidad fuera de muestra.
- La regresión cuantílica minimiza la pérdida pinball max(qe,(q-1)e) y ajusta cualquier cuantil, no solo la media.
- Las pendientes pueden diferir por cuantil: la volatilidad mueve las colas del rendimiento siguiente y deja su media.
- Compruebe la cobertura en general y por régimen: un valor en riesgo del 5 % debe superarse cerca del 5 % del tiempo en todas partes.
Lab: qué se califica
- El ajuste cuantílico10 pts
- Pendientes por cuantil10 pts
- El cuantil ajustado5 pts
- La pérdida pinball15 pts
- La cobertura5 pts
- Cobertura por tercil de volatilidad15 pts
- Valores en riesgo10 pts
- Fuera de muestra15 pts
- El estudio cuantílico15 pts