Den Rand modellieren, nicht den Mittelwert
Die Kleinste-Quadrate-Methode passt den Mittelwert an: Sie minimiert Σeₜ². Das q-Quantil von y gegeben x ist der Wert, unter dem ein Anteil q der Ergebnisse liegt, und die Quantilsregression passt es an, indem sie den Pinball-Verlust Σρ_q(eₜ) mit ρ_q(e)=max(q e, (q-1) e) und e=y-pred minimiert. Eine Unterschätzung kostet q je Einheit, eine Überschätzung 1-q: Die Asymmetrie zieht die Gerade zum q-Quantil. Bei q=0,5 ist der Verlust der halbe absolute Fehler und die Anpassung der Median. QuantReg(y, sm.add_constant(X)).fit(q=0.05) passt das 5-%-Quantil an; res.params enthält Achsenabschnitt und Steigungen. Verschiedene Quantile können verschiedene Steigungen haben, und genau das ist der Punkt: Der Effekt von x kann die Streuung des Ergebnisses betreffen, nicht sein Zentrum.
Man nutzt die annualisierte 21-Tage-Volatilität, um die SPY-Rendite des nächsten Tages über 5.383 Tage vorherzusagen. Die Steigung ist -0,096 beim 5-%-Quantil, +0,087 beim 95-%-Quantil und 0,001 beim Median, während Kleinste Quadrate 0,0008 finden: Der Mittelwert bewegt sich nicht mit der Volatilität, die Ränder aber schon, in beide Richtungen. Die 5-%-Anpassung wird zu einer Value-at-Risk-Tabelle, -(a+b·vol): 1,2 % bei einer Volatilität von 10 %, 2,2 % bei 20 %, 6,3 % bei 60 %. Man beurteilt sie wie eine Prognose. Der Pinball-Verlust auf den letzten 30 % der Tage beträgt 0,001295 gegen 0,001342 für das unbedingte 5-%-Quantil, ein bescheidener Gewinn. Die Abdeckung, der Anteil der Tage mit einer Rendite unter dem vorhergesagten Quantil, sollte überall nahe 5 % liegen. Der unbedingte VaR wird an 2,2 % der ruhigen und 7,8 % der stürmischen Tage verletzt; der bedingte liefert 6,7 %, 4,3 %, 2,8 %: besser ausbalanciert, nicht perfekt, so sieht Ehrlichkeit außerhalb der Stichprobe aus.
- Quantilsregression minimiert den Pinball-Verlust max(qe,(q-1)e) und passt jedes Quantil an, nicht nur den Mittelwert.
- Steigungen können je Quantil verschieden sein: Die Volatilität bewegt die Ränder der nächsten Rendite und lässt den Mittelwert in Ruhe.
- Abdeckung prüfen, insgesamt und je Regime: Ein 5-%-VaR sollte überall etwa 5 % der Zeit verletzt werden.
Lab: Was bewertet wird
- Die Quantilsanpassung10 Pkt.
- Steigungen je Quantil10 Pkt.
- Das angepasste Quantil5 Pkt.
- Der Pinball-Verlust15 Pkt.
- Die Abdeckung5 Pkt.
- Abdeckung je Volatilitäts-Terzil15 Pkt.
- Value-at-Risk-Werte10 Pkt.
- Außerhalb der Stichprobe15 Pkt.
- Die Quantilsstudie15 Pkt.