Posteriori-Intervalle und Entscheidungen

Sagen, wie sicher Sie sind

Die Posterior ist ein ganzes Spektrum von Überzeugungen, man kann also mit Wahrscheinlichkeiten antworten. Ein $95\%$-Glaubwürdigkeitsintervall ist ein Bereich, der den wahren Wert mit $95\%$ Wahrscheinlichkeit enthält, gegeben Prior und Daten. Das ist der einfache Satz, den man fälschlich an gewöhnliche Konfidenzintervalle hängt. Für die Normal-Posterior $N(9{,}66\%,\,3{,}12\%)$ ist das Intervall der Mittelwert plus minus $1{,}96$ Standardabweichungen: $[3{,}5\%,\ 15{,}8\%]$. Für die Gewinnrate $\mathrm{Beta}(19,11)$ ist es $[0{,}46,\ 0{,}79]$ und nicht symmetrisch um den Mittelwert.

Man kann auch direkt nach der Wahrscheinlichkeit dessen fragen, was zählt, etwa $P(\mu>c)$. Eine Entscheidung braucht noch etwas: was ein Irrtum kostet. Sagen wir, die Strategie bringt $+2$ Einheiten, wenn sie gut ist, und verliert $10$ Einheiten, wenn nicht. Bei einer Posterior-Wahrscheinlichkeit von $0{,}93$ für gut ist das erwartete Ergebnis $0{,}93\times2-0{,}07\times10=1{,}16$, man handelt also. Bei $0{,}80$ wären es $0{,}8\times2-0{,}2\times10=-0{,}4$, und man bliebe draußen. Die beste Einzelschätzung hängt davon ab, wie man Fehler bewertet: Der Posterior-Mittelwert ist für quadratische Fehler am besten, der Median für absolute Fehler.

• Glaubwürdigkeitsintervall: ein Bereich, der den wahren Wert mit der genannten Wahrscheinlichkeit enthält, gegeben Prior und Daten.
• Randwahrscheinlichkeiten wie $P(\mu>c)$ beantworten die Frage, die Sie wirklich haben.
• Entscheidungen: die Auszahlung über die Posterior mitteln und die Aktion mit dem besten Erwartungswert wählen.

Lab: Was bewertet wird

• Die untere Grenze15 Pkt.
• Die obere Grenze15 Pkt.
• Eine Randwahrscheinlichkeit15 Pkt.
• Das erwartete Ergebnis einer Wette15 Pkt.
• Ein Glaubwürdigkeitsintervall lesen10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Kurze Historie, breites Intervall15 Pkt.