Die gewöhnliche Regression liefert eine Steigung. Die Bayessche Regression liefert eine ganze Verteilung für die Steigung. Nehmen Sie die Rendite einer Aktie und die Marktrendite mit , das Rauschen habe die Varianz . Beginnen Sie mit einem Prior für das Beta, etwa eine Normalverteilung um mit Varianz . Die Daten schieben die Steigung zum Kleinste-Quadrate-Wert, der Prior zieht sie zurück. Es ist derselbe nach Präzision gewichtete Durchschnitt wie in den letzten Themen. Die Prior-Präzision ist , die Datenpräzision , und diese ist groß, wenn sich der Markt stark bewegt hat.
Zwei Dinge sind zu beachten. Erstens ergibt ein Prior um genau die Ridge-Regression: Die Steigung ist mit . Ridge-Regression ist also eine Bayessche Regression, deren Prior großen Steigungen misstraut. Zweitens hat eine Prognose für ein neues zwei Streuungsquellen: das Rauschen und die Unsicherheit der Steigung, die beiträgt. Der zweite Teil wächst mit dem Quadrat von , Prognosen weit weg von den Daten sind also unsicherer.
Wie groß ist mit , und Prior-Varianz die Posterior-Präzision ?
Fügen Sie nun den Prior-Mittelwert und hinzu. Wie groß ist der Posterior-Mittelwert ? Geben Sie vier Dezimalstellen an.
Wie groß ist die Posterior-Standardabweichung der Steigung, ? Geben Sie vier Dezimalstellen an.
Verwenden Sie einen Prior um mit und , also . Wie groß ist die Ridge-Steigung mit und ? Geben Sie vier Dezimalstellen an.
Für ein neues ist die prädiktive Standardabweichung mit . Wie groß ist sie? Geben Sie drei Dezimalstellen an.
Was passiert mit der Posterior-Steigung, wenn die Prior-Varianz sehr klein wird?
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Erklären Sie in ein bis zwei Sätzen, warum eine Bayessche Regression für -Werte weit weg von den Daten breitere Prognosebereiche liefert.
