Konjugierte Modelle: Beta-Binomial und Normal

Aktualisierungen mit Formel

Meist braucht eine Posterior einen Computer. Für einige Paare aus Prior und Likelihood ist die Antwort aber eine einfache Formel, weil die Posterior in derselben Familie wie der Prior bleibt. Ein solches Paar heißt konjugiert. Das bekannteste gilt für eine Gewinnrate $\theta$: ein Beta-Prior mit Gewinn-oder-Verlust-Daten. Ein $\mathrm{Beta}(a,b)$-Prior wirkt, als hätte man schon $a$ Gewinne und $b$ Verluste gesehen. Jeder neue Gewinn addiert $1$ zu $a$, jeder neue Verlust $1$ zu $b$. Der Mittelwert ist $a/(a+b)$.

Das zweite Paar gilt für einen unbekannten Mittelwert, etwa eine mittlere Rendite, wenn das Rauschen bekannt ist. Der Prior ist $N(\mu_0,\tau_0^{2})$, und die Daten liefern einen Stichprobenmittelwert $\bar x$ mit Standardfehler $s$. Sehen Sie die Präzision, $1/\mathrm{Varianz}$, als Maß dafür, wie sehr man etwas traut. Die Posterior-Präzision ist die Summe beider Präzisionen. Der Posterior-Mittelwert ist der nach Präzision gewichtete Durchschnitt aus Prior- und Stichprobenmittel, die genauere Quelle zählt also mehr.

• Konjugiert: Die Posterior liegt in derselben Familie wie der Prior, das Update ist also eine Formel.
• Beta-Prior: Zahlen bereits gesehener Gewinne und Verluste. Neue Zahlen addieren ergibt die Posterior.
• Normalfall: Präzisionen addieren und die Mittelwerte mit diesen Gewichten mitteln.

Lab: Was bewertet wird

• Die Posterior-Gewinnrate15 Pkt.
• Die Streuung der Gewinnrate15 Pkt.
• Die mittlere Posterior-Rendite15 Pkt.
• Die Posterior-Streuung15 Pkt.
• Ein flacher Beta-Prior10 Pkt.
• Begriffe zuordnen15 Pkt.
• Zwischen Prior und Daten15 Pkt.