Modèles conjugués : bêta-binomial et normal

Des mises à jour avec une formule

En général, un a posteriori demande un ordinateur. Pour quelques couples d'a priori et de vraisemblance, la réponse est pourtant une formule simple, car l'a posteriori reste dans la même famille que l'a priori. Un tel couple est dit conjugué. Le plus connu concerne un taux de gain $\theta$ : un a priori Bêta avec des données gain-perte. Un a priori $\mathrm{Beta}(a,b)$ agit comme si vous aviez déjà vu $a$ gains et $b$ pertes. Chaque nouveau gain ajoute $1$ à $a$, chaque nouvelle perte ajoute $1$ à $b$. La moyenne est $a/(a+b)$.

Le second couple concerne une moyenne inconnue, comme un rendement moyen, quand le bruit est connu. L'a priori est $N(\mu_0,\tau_0^{2})$ et les données donnent une moyenne empirique $\bar x$ d'erreur standard $s$. Voyez la précision, $1/\mathrm{variance}$, comme la confiance que l'on accorde à quelque chose. La précision a posteriori est la somme des deux précisions. La moyenne a posteriori est la moyenne pondérée par les précisions de la moyenne a priori et de la moyenne empirique : la source la plus précise pèse davantage.

• Conjugué : l'a posteriori est dans la même famille que l'a priori, donc la mise à jour est une formule.
• A priori Bêta : nombres de gains et de pertes déjà vus. Ajoutez les nouveaux nombres pour obtenir l'a posteriori.
• Cas normal : additionnez les précisions et moyennez les moyennes avec ces poids.

Lab : ce qui est noté

• Le taux de gain a posteriori15 pts
• La dispersion du taux de gain15 pts
• Le rendement moyen a posteriori15 pts
• La dispersion a posteriori15 pts
• Un a priori Bêta plat10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Entre l'a priori et les données15 pts