A priori vraisemblances et a posteriori

Changer d'avis de façon équitable

La règle de Bayes est une recette pour changer d'avis face à des preuves. Vous partez d'un a priori : ce que vous croyiez avant de voir les données. Puis vous demandez quelle serait la probabilité des données sous chaque vérité possible. C'est la vraisemblance. Multipliez les deux, remettez à l'échelle pour que tout somme $1$, et vous obtenez l'a posteriori : votre croyance après les preuves. Le nombre utilisé pour remettre à l'échelle est l'évidence, la probabilité totale des données sur toutes les vérités possibles.

Prenez une stratégie soit bonne, gagnant $60\%$ des jours, soit mauvaise, gagnant $50\%$ des jours. Avant toute donnée, vous donnez $30\%$ de chances qu'elle soit bonne. Elle gagne ensuite $7$ jours sur $10$. Ce résultat est plus probable sous bonne ($0{,}215$) que sous mauvaise ($0{,}117$), mais pas de beaucoup, et bonne était peu probable au départ. La probabilité a posteriori de bonne n'est que de $44\%$. Avec $70$ gains en $100$ jours, le même taux de gain donne $99{,}5\%$. Plus de données laissent la vraisemblance l'emporter sur l'a priori.

• A priori, vraisemblance, a posteriori : ce que vous croyiez, à quel point chaque vérité explique les données, ce que vous croyez maintenant.
• L'évidence $P(D)$ n'est que le nombre de remise à l'échelle qui fait sommer l'a posteriori à $1$.
• Les données l'emportent sur l'a priori : plus il y a de données, moins l'a priori compte.

Lab : ce qui est noté

• Une vraisemblance15 pts
• L'évidence15 pts
• L'a posteriori15 pts
• La cote a posteriori15 pts
• Plus de données10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Pourquoi dix jours ne prouvent rien15 pts