Intervalles a posteriori et décisions

Dire à quel point vous êtes sûr

L'a posteriori est tout un éventail de croyances, on peut donc répondre aux questions par des probabilités. Un intervalle de crédibilité à $95\%$ est une plage qui contient la vraie valeur avec une probabilité de $95\%$, compte tenu de votre a priori et des données. C'est la phrase simple que l'on attache à tort aux intervalles de confiance ordinaires. Pour l'a posteriori normal $N(9{,}66\%,\,3{,}12\%)$, l'intervalle est la moyenne plus ou moins $1{,}96$ écart type : $[3{,}5\%,\ 15{,}8\%]$. Pour le taux de gain $\mathrm{Beta}(19,11)$, il vaut $[0{,}46,\ 0{,}79]$ et n'est pas symétrique autour de la moyenne.

On peut aussi demander la probabilité de ce qui nous intéresse vraiment, comme $P(\mu>c)$. Une décision demande une chose de plus : ce que coûte une erreur. Disons que la stratégie rapporte $+2$ unités si elle est bonne et fait perdre $10$ unités sinon. Avec une probabilité a posteriori de $0{,}93$ qu'elle soit bonne, le résultat espéré est $0{,}93\times2-0{,}07\times10=1{,}16$ : vous tradez. Avec $0{,}80$, vous auriez $0{,}8\times2-0{,}2\times10=-0{,}4$ et resteriez dehors. La meilleure estimation unique dépend de la façon de noter les erreurs : la moyenne a posteriori est la meilleure pour les erreurs au carré et la médiane pour les erreurs absolues.

• Intervalle de crédibilité : une plage contenant la vraie valeur avec la probabilité indiquée, compte tenu de l'a priori et des données.
• Les probabilités de queue comme $P(\mu>c)$ répondent à la question que vous vous posez vraiment.
• Décisions : moyennez le gain sur l'a posteriori et prenez l'action au meilleur résultat espéré.

Lab : ce qui est noté

• La borne basse15 pts
• La borne haute15 pts
• Une probabilité de queue15 pts
• Le résultat espéré d'un pari15 pts
• Lire un intervalle de crédibilité10 pts
• Associer le vocabulaire15 pts
• Historique court, intervalle large15 pts