Modelos conjugados: beta-binomial e normal

Atualizações com fórmula

Em geral uma posterior precisa de um computador. Para alguns pares de prior e verossimilhança, porém, a resposta é uma fórmula simples, porque a posterior fica na mesma família do prior. Um par assim se chama conjugado. O mais conhecido é para uma taxa de acerto $\theta$: um prior Beta com dados de ganhar ou perder. Um prior $\mathrm{Beta}(a,b)$ age como se você já tivesse visto $a$ vitórias e $b$ derrotas. Cada nova vitória soma $1$ a $a$, cada nova derrota soma $1$ a $b$. A média é $a/(a+b)$.

O segundo par é para uma média desconhecida, como um retorno médio, quando o ruído é conhecido. O prior é $N(\mu_0,\tau_0^{2})$ e os dados dão uma média amostral $\bar x$ com erro padrão $s$. Pense na precisão, $1/\mathrm{variância}$, como o quanto você confia em algo. A precisão posterior é a soma das duas precisões. A média posterior é a média ponderada pela precisão da média prévia e da amostral, então a fonte mais precisa pesa mais.

• Conjugado: a posterior está na mesma família do prior, então a atualização é uma fórmula.
• Prior Beta: contagens de vitórias e derrotas já vistas. Some as novas contagens para obter a posterior.
• Caso normal: some as precisões e faça a média das médias com esses pesos.

Lab: o que é avaliado

• A taxa de acerto posterior15 pts
• A dispersão da taxa de acerto15 pts
• O retorno médio posterior15 pts
• A dispersão posterior15 pts
• Um prior Beta plano10 pts
• Associar o vocabulário15 pts
• Entre o prior e os dados15 pts