المقياس الزمني للعودة إلى المتوسط
فرق مرتفع اليوم يميل إلى الانخفاض لاحقًا، لكن بأي سرعة؟ يقيس الارتباط الذاتي عند التأخير k كم يبقى بعد k يومًا من انحراف اليوم عن المتوسط: اطرح المتوسط ثم ρₖ=Σₜxₜxₜ₋ₖ / Σₜxₜ². وفي سلسلة تعود إلى متوسطها تنخفض هذه الأعداد كـ e^(-k/τ) وτ هو المقياس الزمني: بعد τ يومًا يبقى نحو 37% من الانحراف وبعد τln 2 يومًا (نصف العمر) يبقى النصف. تجد scipy.optimize.curve_fit(model, x, y, p0=..., bounds=...) معاملات أي نموذج بالمربعات الصغرى. تمرر النموذج كدالة model(x, *params) وتخمينًا ابتدائيًا p0 وحدودًا تبقي المعامل موجبًا فتعيد أفضل المعاملات ومصفوفة تغايرها pcov؛ والأخطاء المعيارية هي الجذور التربيعية لقطرها.
في فرق عائد الخزانة 10 سنوات ناقص سنتين (6,697 يومًا منذ 2000) يعطي الملاءمة τ≈1,006 يوم بخطأ معياري نحو 5 أي نصف عمر قرب 697 يومًا. هذا الرقم مضلل. كرر الملاءمة على ثلاث عشرة نافذة منفصلة من 500 يوم فيتراوح نصف العمر بين 33 و124 يومًا: كان الفرق يعود أسرع بكثير داخل كل فترة مما توحي به العينة الكاملة لأنها تحوي أيضًا التقلبات البطيئة بين الأنظمة. والخطأ المعياري الضئيل يقول فقط إن المنحنى يلائم الارتباطات الذاتية جيدًا لا إنها مستقرة. لائم بحسب النافذة وانظر كيف يتحرك التقدير وأبلغ المدى لا رقمًا واحدًا.
- الارتباط الذاتي يُظهر الذاكرة: وفي العودة إلى المتوسط يتناقص كـ exp(-k / tau).
- تعيد
curve_fitمنحنى وعدم يقينه: أعطها بداية وحدودًا واقرأ الخطأ المعياري منpcov. - الخطأ المعياري الصغير ليس استقرارًا: أعد الملاءمة على نوافذ متحركة قبل أن تصدق نصف عمر.
المختبر: ما الذي يُقيَّم
- الارتباطات الذاتية العينية15 نقطة
- نموذج الاضمحلال5 نقطة
- ملاءمة المقياس الزمني25 نقطة
- نصف العمر5 نقطة
- أنصاف أعمار متحركة25 نقطة
- دراسة الفرق25 نقطة