L'échelle de temps du retour à la moyenne
Un écart élevé aujourd'hui tend à être plus bas plus tard, mais à quelle vitesse ? L'autocorrélation au retard k mesure ce qui reste, k jours plus tard, de l'écart d'aujourd'hui à la moyenne : on retranche la moyenne, puis ρₖ=Σₜxₜxₜ₋ₖ / Σₜxₜ². Pour une série qui revient à sa moyenne, ces nombres décroissent comme e^(-k/τ), et τ est l'échelle de temps : après τ jours il reste environ 37 % d'un écart, et après τln 2 jours (la demi-vie) la moitié. scipy.optimize.curve_fit(modèle, x, y, p0=..., bounds=...) trouve les paramètres de n'importe quel modèle par moindres carrés. On lui passe le modèle sous forme de fonction modèle(x, *params), une estimation de départ p0 et des bornes qui gardent le paramètre positif, et il renvoie les meilleurs paramètres et leur matrice de covariance pcov ; les erreurs standard sont les racines carrées de sa diagonale.
Sur l'écart de rendement 10 ans moins 2 ans du Trésor (6 697 jours depuis 2000), l'ajustement donne τ≈1 006 jours avec une erreur standard d'environ 5, soit une demi-vie proche de 697 jours. Ce chiffre est trompeur. Refaites l'ajustement sur treize fenêtres séparées de 500 jours et la demi-vie va de 33 à 124 jours : l'écart revenait bien plus vite à l'intérieur de chaque période que ne le suggère l'échantillon complet, parce que celui-ci contient aussi les lentes oscillations entre régimes. Une erreur standard minuscule dit seulement que la courbe colle bien aux autocorrélations, pas que celles-ci sont stables. Ajustez par fenêtre, regardez comment l'estimation bouge et indiquez la fourchette, pas un seul nombre.
- L'autocorrélation montre la mémoire : pour un retour à la moyenne elle décroît comme exp(-k / tau).
curve_fitrenvoie une courbe et son incertitude : donnez un départ et des bornes, et lisez l'erreur standard danspcov.- Une petite erreur standard n'est pas de la stabilité : réajustez sur des fenêtres glissantes avant de croire une demi-vie.
Lab : ce qui est noté
- Autocorrélations empiriques15 pts
- Le modèle de décroissance5 pts
- Ajuster l'échelle de temps25 pts
- La demi-vie5 pts
- Demi-vies glissantes25 pts
- L'étude de l'écart25 pts