Interpolation et splines pour les courbes

Tracer une ligne lisse par quelques points

Les marchés cotent une courbe de taux à quelques échéances, comme 2, 3 et 5 ans, mais il faut la valeur à n'importe quelle échéance, comme 2,5 ans. L'interpolation comble les trous entre les points connus. La façon la plus simple est linéaire : tracer une droite entre deux voisins avec np.interp ou interpolate.interp1d. Une spline cubique, interpolate.CubicSpline, relie les points par des morceaux de courbe cubique de sorte que la pente et la courbure coïncident aussi en chaque point, et le résultat paraît lisse. Une spline peut dépasser entre les points. PchipInterpolator l'évite en ne passant jamais au-dessus ou au-dessous de ses voisins. Dans la plage connue, n'importe lequel convient, mais en dehors on extrapole, ce qui est une conjecture, et un polynôme cubique peut alors s'emballer.

La grandeur que l'on interpole compte. L'interpolation linéaire des rendements est facile, mais en finance on interpole souvent plutôt le logarithme du facteur d'actualisation. Avec une capitalisation continue, le facteur d'actualisation est $D(t)=e^{-y(t)\,t}$ , donc $\ln D(t)=-y(t)\,t$ . L'interpoler linéairement garde les taux à terme constants entre les nœuds. Le taux à terme entre les instants $t_1$ et $t_2$ est le taux que l'on peut verrouiller aujourd'hui pour cette période future : $f=\dfrac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}$ . Une courbe de taux à terme lisse et sensée est le vrai test d'une interpolation.

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

Le rendement à 2,5 ansLe rendement est de

4{,}0\%

2

ans et de

4{,}5\%

3

ans. L'interpolation linéaire donne

4{,}25\%

2{,}5

ans. L'interpolation de

\ln D=-yt

, qui vaut

-0{,}080

2

ans et

-0{,}135

3

ans, donne

-0{,}1075

2{,}5

ans, donc le rendement est

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. Le taux à terme entre

2

3

ans est

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Une spline cubique naturelle par

(0;0)

(1;1)

(2;0)

vaut

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

sur

[0;1]

, donc

S(0{,}5)=0{,}6875

, alors qu'une droite donne

0{,}5

. Sur données réelles, la courbe du Trésor du 9 octobre 2026 a

5{,}24\%

10

ans et

5{,}65\%

20

ans. À

15

ans, l'interpolation linéaire donne

5{,}445\%

, une spline cubique par les dix points donne

5{,}450\%

et PCHIP donne

5{,}493\%

. Au-delà des données, cela tourne mal : la même spline à

40

ans dit

4{,}26\%

, alors que le rendement à

30

ans est de

5{,}60\%

Interpoler dedans, se méfier dehors : linéaire, spline cubique et PCHIP s'accordent dans les données et divergent en dehors.
Choisir ce que l'on interpole : le logarithme du facteur d'actualisation garde les taux à terme stables entre les nœuds.
Vérifier la courbe à terme : une bonne interpolation donne des taux à terme sensés, pas seulement une belle ligne par les points.

Lab : ce qui est noté

Une interpolation linéaire10 pts
Interpoler le facteur d'actualisation15 pts
Un taux à terme15 pts
Une valeur de spline10 pts
Le bon outil15 pts
Construire une courbe10 pts
Pourquoi ne pas extrapoler une spline cubique25 pts

Tracer une ligne lisse par quelques points

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

Le rendement à 2,5 ansLe rendement est de

4{,}0\%

2

ans et de

4{,}5\%

3

ans. L'interpolation linéaire donne

4{,}25\%

2{,}5

ans. L'interpolation de

\ln D=-yt

, qui vaut

-0{,}080

2

ans et

-0{,}135

3

ans, donne

-0{,}1075

2{,}5

ans, donc le rendement est

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. Le taux à terme entre

2

3

ans est

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Une spline cubique naturelle par

(0;0)

(1;1)

(2;0)

vaut

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

sur

[0;1]

, donc

S(0{,}5)=0{,}6875

, alors qu'une droite donne

0{,}5

. Sur données réelles, la courbe du Trésor du 9 octobre 2026 a

5{,}24\%

10

ans et

5{,}65\%

20

ans. À

15

ans, l'interpolation linéaire donne

5{,}445\%

, une spline cubique par les dix points donne

5{,}450\%

et PCHIP donne

5{,}493\%

. Au-delà des données, cela tourne mal : la même spline à

40

ans dit

4{,}26\%

, alors que le rendement à

30

ans est de

5{,}60\%

Interpoler dedans, se méfier dehors : linéaire, spline cubique et PCHIP s'accordent dans les données et divergent en dehors.
Choisir ce que l'on interpole : le logarithme du facteur d'actualisation garde les taux à terme stables entre les nœuds.
Vérifier la courbe à terme : une bonne interpolation donne des taux à terme sensés, pas seulement une belle ligne par les points.

Lab : ce qui est noté

Une interpolation linéaire10 pts
Interpoler le facteur d'actualisation15 pts
Un taux à terme15 pts
Une valeur de spline10 pts
Le bon outil15 pts
Construire une courbe10 pts
Pourquoi ne pas extrapoler une spline cubique25 pts

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