曲線のための補間とスプライン

少数の点を通る滑らかな線を引く

市場は利回り曲線を2年、3年、5年のようないくつかの満期でしか気配しませんが、2.5年のような任意の満期の値が必要です。補間は既知の点の間を埋めます。最も簡単なのは線形で、np.interp や interpolate.interp1d で隣り合う2点の間に直線を引きます。3次スプライン interpolate.CubicSpline は、各点で傾きと曲率も一致するように3次曲線の断片をつなぐので、滑らかに見えます。スプラインは点の間で行き過ぎることがあります。PchipInterpolator は隣の点より上にも下にも行かないので、それを避けられます。既知の範囲内ならどれでも構いませんが、外側は外挿という推測になり、3次式は暴走することがあります。

何を補間するかが重要です。利回りの線形補間は簡単ですが、金融ではむしろ割引係数の対数を補間することが多いです。連続複利では割引係数は $D(t)=e^{-y(t)\,t}$ なので $\ln D(t)=-y(t)\,t$ です。これを線形に補間すると、結節点の間でフォワードレートが一定になります。時点 $t_1$ と $t_2$ の間のフォワードレートは、その将来の期間について今日固定できる利率で、$f=\dfrac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}$ です。滑らかで妥当なフォワード曲線が、補間の本当の試金石です。

• 内側は補間、外側は用心：線形・3次スプライン・PCHIPはデータ内ではほぼ一致し、外では分かれる。
• 何を補間するかを選ぶ：割引係数の対数なら結節点の間でフォワードレートが安定する。
• フォワード曲線を確かめる：良い補間は、点を通る綺麗な線だけでなく、妥当なフォワードレートを与える。

ラボ：採点される内容

• 線形補間10点
• 割引係数の補間15点
• フォワードレート15点
• スプラインの値10点
• 適切な道具15点
• 曲線の構築10点
• なぜ3次スプラインを外挿しないか25点