Interpolación y splines para curvas

Trazar una línea suave por unos pocos puntos

Los mercados cotizan una curva de tipos en pocos plazos, como 2, 3 y 5 años, pero se necesita el valor en cualquier plazo, como 2,5 años. La interpolación rellena los huecos entre puntos conocidos. La forma más simple es lineal: trazar una recta entre dos vecinos con np.interp o interpolate.interp1d. Una spline cúbica, interpolate.CubicSpline, une los puntos con trozos de curva cúbica de modo que la pendiente y la curvatura también coinciden en cada punto, y el resultado se ve suave. Una spline puede pasarse entre puntos. PchipInterpolator lo evita al no ir nunca por encima o por debajo de sus vecinos. Dentro del rango conocido cualquiera sirve, pero fuera se extrapola, lo que es una conjetura, y un polinomio cúbico puede desbocarse.

Importa qué magnitud se interpola. Interpolar linealmente los rendimientos es fácil, pero en finanzas a menudo se interpola en su lugar el logaritmo del factor de descuento. Con capitalización continua, el factor de descuento es $D(t)=e^{-y(t)\,t}$ , así que $\ln D(t)=-y(t)\,t$ . Interpolarlo linealmente mantiene constantes los tipos a plazo entre nodos. El tipo a plazo entre los instantes $t_1$ y $t_2$ es el tipo que se puede fijar hoy para ese periodo futuro: $f=\dfrac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}$ . Una curva a plazo suave y razonable es la verdadera prueba de una interpolación.

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

El rendimiento a 2,5 añosEl rendimiento es

4{,}0\%

2

años y

4{,}5\%

3

años. La interpolación lineal da

4{,}25\%

2{,}5

años. Interpolar

\ln D=-yt

, que vale

-0{,}080

2

años y

-0{,}135

3

años, da

-0{,}1075

2{,}5

años, así que el rendimiento es

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. El tipo a plazo entre

2

3

años es

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Una spline cúbica natural por

(0;0)

(1;1)

(2;0)

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

[0;1]

, así que

S(0{,}5)=0{,}6875

, mientras que una recta da

0{,}5

. Con datos reales, la curva del Tesoro del 9 de octubre de 2026 tiene

5{,}24\%

10

años y

5{,}65\%

20

años. A

15

años, la interpolación lineal da

5{,}445\%

, una spline cúbica por los diez puntos da

5{,}450\%

y PCHIP da

5{,}493\%

. Más allá de los datos falla: la misma spline a

40

años dice

4{,}26\%

, aunque el rendimiento a

30

años es

5{,}60\%

Interpolar dentro, cuidado fuera: lineal, spline cúbica y PCHIP coinciden dentro de los datos y divergen fuera.
Elegir qué interpolar: el logaritmo del factor de descuento mantiene estables los tipos a plazo entre nodos.
Revisar la curva a plazo: una buena interpolación da tipos a plazo razonables, no solo una bonita línea por los puntos.

Lab: qué se califica

Una interpolación lineal10 pts
Interpolar el factor de descuento15 pts
Un tipo a plazo15 pts
Un valor de spline10 pts
La herramienta adecuada15 pts
Construir una curva10 pts
Por qué no extrapolar una spline cúbica25 pts

Trazar una línea suave por unos pocos puntos

D(t)=e^{-y(t)\,t},\qquad \ln D(t)\ \text{linear between knots},\qquad f(t_1,t_2)=\frac{y(t_2)t_2-y(t_1)t_1}{t_2-t_1}

(1)

El rendimiento a 2,5 añosEl rendimiento es

4{,}0\%

2

años y

4{,}5\%

3

años. La interpolación lineal da

4{,}25\%

2{,}5

años. Interpolar

\ln D=-yt

, que vale

-0{,}080

2

años y

-0{,}135

3

años, da

-0{,}1075

2{,}5

años, así que el rendimiento es

0{,}1075/2{,}5=4{,}30\%

. El tipo a plazo entre

2

3

años es

(0{,}135-0{,}080)/1=5{,}5\%

. Una spline cúbica natural por

(0;0)

(1;1)

(2;0)

S(x)=-0{,}5x^{3}+1{,}5x

[0;1]

, así que

S(0{,}5)=0{,}6875

, mientras que una recta da

0{,}5

. Con datos reales, la curva del Tesoro del 9 de octubre de 2026 tiene

5{,}24\%

10

años y

5{,}65\%

20

años. A

15

años, la interpolación lineal da

5{,}445\%

, una spline cúbica por los diez puntos da

5{,}450\%

y PCHIP da

5{,}493\%

. Más allá de los datos falla: la misma spline a

40

años dice

4{,}26\%

, aunque el rendimiento a

30

años es

5{,}60\%

Interpolar dentro, cuidado fuera: lineal, spline cúbica y PCHIP coinciden dentro de los datos y divergen fuera.
Elegir qué interpolar: el logaritmo del factor de descuento mantiene estables los tipos a plazo entre nodos.
Revisar la curva a plazo: una buena interpolación da tipos a plazo razonables, no solo una bonita línea por los puntos.

Lab: qué se califica

Una interpolación lineal10 pts
Interpolar el factor de descuento15 pts
Un tipo a plazo15 pts
Un valor de spline10 pts
La herramienta adecuada15 pts
Construir una curva10 pts
Por qué no extrapolar una spline cúbica25 pts

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