Integración con quad y solucionadores de EDO

Sumar bajo una curva: áreas y sistemas en movimiento

Una integral es el área bajo una curva. integrate.quad(f, a, b) calcula $\int_a^b f(x)\,dx$ para una función que usted escribe y devuelve el valor junto con una estimación del error. Es adaptativa: muestrea más donde la función cambia rápido. Si solo tiene valores en puntos, no una función, suma rebanadas finas. La regla del trapecio, np.trapezoid, une puntos vecinos con rectas y suma las áreas de los trapecios. La regla de Simpson, integrate.simpson, usa pequeñas parábolas y es mucho más precisa para curvas suaves. Una función con un pico, como el pago de una opción de compra $\max(S-K,0)$ , rompe la suavidad que espera quad, así que se le indica dónde está el pico con points=[K].

La segunda herramienta es para sistemas que se mueven. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) dice con qué rapidez cambia algo, por ejemplo un tipo corto atraído hacia un nivel de largo plazo $\theta$ con velocidad $\kappa$ : $\dfrac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$ . integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) la sigue en el tiempo. El método manual más simple es el paso de Euler, $r_{\text{nuevo}}=r+h\,f(r)$ , que supone que la velocidad se mantiene constante en un paso de longitud $h$ . En finanzas, las integrales convierten una curva de tipos a plazo en un factor de descuento: $D(T)=\exp\!\big(-\int_0^T f(t)\,dt\big)$ , y convierten un pago y una densidad de probabilidad en un valor esperado.

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Un área, un tipo y un factor de descuentoTomemos

\int_0^1x^{2}dx

con

4

rebanadas (

h=0{,}25

). Las alturas son

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, así que la regla del trapecio da

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, algo por encima del

1/3

exacto. La regla de Simpson con solo

3

puntos da exactamente

0{,}3333

. Ahora un tipo parte de

r_0=2\%

con

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Un paso de Euler de longitud

h=1

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, mientras que la solución exacta

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

2{,}787\%

y solve_ivp coincide. Una curva de tipos a plazo

f(t)=0{,}03+0{,}01t

tiene área

0{,}08

0

2

años, así que

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Para una opción de compra con

S=K=100

, volatilidad del

20\%

y un año, quad del pago por la densidad normal, con points en el pico, da

7{,}9656

, el precio de Black–Scholes. Con datos reales, el rendimiento a 10 años del Tesoro de

5{,}24\%

el 9 de octubre de 2026, leído como tasa de capitalización continua, da

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Función o puntos: use quad cuando pueda escribir la función, y trapecio o Simpson cuando solo tenga valores.
Avisar a quad de los picos: un pago como $\max(S-K,0)$ necesita points=[K] para un resultado fiable.
Las integrales valoran: el área bajo una curva a plazo da un factor de descuento, y pago por densidad da un valor esperado.

Lab: qué se califica

Un área por trapecios10 pts
Un paso de Euler10 pts
La solución exacta15 pts
Un factor de descuento15 pts
El integrador adecuado15 pts
Valorar una opción de compra por integración10 pts
Por qué avisar a quad del pico25 pts

Sumar bajo una curva: áreas y sistemas en movimiento

\int_a^b f\,dx\approx h\Big(\tfrac{f_0}{2}+f_1+\dots+f_{n-1}+\tfrac{f_n}{2}\Big),\qquad r_{\text{new}}=r+h\,\kappa(\theta-r),\qquad D(T)=e^{-\int_0^T f(t)\,dt}

(1)

Un área, un tipo y un factor de descuentoTomemos

\int_0^1x^{2}dx

con

4

rebanadas (

h=0{,}25

). Las alturas son

0

0{,}0625

0{,}25

0{,}5625

1

, así que la regla del trapecio da

0{,}25\cdot(0{,}5\cdot0+0{,}0625+0{,}25+0{,}5625+0{,}5\cdot1)=0{,}34375

, algo por encima del

1/3

exacto. La regla de Simpson con solo

3

puntos da exactamente

0{,}3333

. Ahora un tipo parte de

r_0=2\%

con

\kappa=0{,}5

\theta=4\%

. Un paso de Euler de longitud

h=1

r=0{,}02+0{,}5\cdot0{,}02=3{,}0\%

, mientras que la solución exacta

\theta+(r_0-\theta)e^{-\kappa}

2{,}787\%

y solve_ivp coincide. Una curva de tipos a plazo

f(t)=0{,}03+0{,}01t

tiene área

0{,}08

0

2

años, así que

D(2)=e^{-0{,}08}=0{,}9231

. Para una opción de compra con

S=K=100

, volatilidad del

20\%

y un año, quad del pago por la densidad normal, con points en el pico, da

7{,}9656

, el precio de Black–Scholes. Con datos reales, el rendimiento a 10 años del Tesoro de

5{,}24\%

el 9 de octubre de 2026, leído como tasa de capitalización continua, da

D(10)=e^{-0{,}524}=0{,}592

Función o puntos: use quad cuando pueda escribir la función, y trapecio o Simpson cuando solo tenga valores.
Avisar a quad de los picos: un pago como $\max(S-K,0)$ necesita points=[K] para un resultado fiable.
Las integrales valoran: el área bajo una curva a plazo da un factor de descuento, y pago por densidad da un valor esperado.

Lab: qué se califica

Un área por trapecios10 pts
Un paso de Euler10 pts
La solución exacta15 pts
Un factor de descuento15 pts
El integrador adecuado15 pts
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