曲线下求和：面积与动态系统
积分就是曲线下的面积。integrate.quad(f, a, b) 对你写的函数计算 ∫abf(x)dx，并返回数值和误差估计。它是自适应的：在函数变化快的地方取样更密。如果只有各点处的值而没有函数，就把细条加起来。梯形法 np.trapezoid 用直线连接相邻点并把梯形面积相加。辛普森法 integrate.simpson 用小抛物线，对光滑曲线精确得多。带折点的函数，如看涨期权的收益 max(S−K,0)，会破坏 quad 期望的光滑性，所以要用 points=[K] 告诉它折点的位置。
第二个工具用于动态系统。常微分方程（ODE）描述某个量变化多快，例如短期利率以速度 κ 被拉向长期水平 θ：dtdr=κ(θ−r)。integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) 沿时间推进求解。最简单的手算方法是欧拉步 r新=r+hf(r)，它假定在长度为 h 的一步内速度不变。在金融中，积分把远期利率曲线变成贴现因子 D(T)=exp(−∫0Tf(t)dt)，也把收益与概率密度变成期望值。
∫abfdx≈h(2f0+f1+⋯+fn−1+2fn),rnew=r+hκ(θ−r),D(T)=e−∫0Tf(t)dt(1) 一块面积、一个利率和一个贴现因子取
∫01x2dx，分成
4 条（
h=0.25）。高度为
0、
0.0625、
0.25、
0.5625、
1，梯形法给出
0.25⋅(0.5⋅0+0.0625+0.25+0.5625+0.5⋅1)=0.34375，略高于精确值
1/3。辛普森法只用
3 个点就恰好得到
0.3333。再设一个利率从
r0=2% 出发，
κ=0.5，
θ=4%。长度
h=1 的一步欧拉给出
r=0.02+0.5⋅0.02=3.0%，而精确解
θ+(r0−θ)e−κ 是
2.787%，
solve_ivp 与之一致。远期利率曲线
f(t)=0.03+0.01t 在
0 到
2 年的面积是
0.08，所以
D(2)=e−0.08=0.9231。对
S=K=100、波动率
20%、期限一年的看涨期权，用
quad 对收益乘以正态密度积分，并在折点处设置
points，得到
7.9656，即布莱克–斯科尔斯价格。在真实数据上，2026 年 10 月 9 日美债 10 年期收益率
5.24%，按连续复利理解，给出
D(10)=e−0.524=0.592。
- 函数还是点：能写出函数就用
quad，只有数值就用梯形法或辛普森法。 - 把折点告诉 quad：像 max(S−K,0) 这样的收益需要
points=[K] 才能得到可靠结果。 - 积分用于定价：远期曲线下的面积给出贴现因子，收益乘以密度给出期望值。
实验：评分内容
- 梯形法面积10 分
- 欧拉步10 分
- 精确解15 分
- 贴现因子15 分
- 合适的积分工具15 分
- 用积分为看涨期权定价10 分
- 为什么要把折点告诉 quad25 分
