التكامل مع quad وحلّالات المعادلات التفاضلية

الجمع تحت المنحنى: مساحات وأنظمة متحركة

التكامل هو المساحة تحت منحنى. تحسب integrate.quad(f, a, b) قيمة $\int_a^b f(x)\,dx$ لدالة تكتبها وترجع القيمة مع تقدير للخطأ. وهي تكيّفية: تأخذ عينات أكثر حيث تتغير الدالة بسرعة. وإذا لم يكن لديك إلا قيم عند نقاط لا دالة، تجمع شرائح رقيقة. تصل قاعدة شبه المنحرف np.trapezoid النقاط المتجاورة بمستقيمات وتجمع مساحات أشباه المنحرف. وتستعمل قاعدة سيمبسون integrate.simpson قطوعًا مكافئة صغيرة وهي أدق بكثير للمنحنيات الناعمة. والدالة ذات الزاوية مثل عائد خيار الشراء $\max(S-K,0)$ تكسر النعومة التي تتوقعها quad فتخبرها بموضع الزاوية بـ points=[K].

الأداة الثانية للأنظمة المتحركة. تقول المعادلة التفاضلية العادية (ODE) بأي سرعة يتغير شيء، مثل سعر فائدة قصير ينجذب نحو مستوى طويل الأجل $\theta$ بسرعة $\kappa$: $\dfrac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$. وتتتبعها integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) عبر الزمن. وأبسط طريقة يدوية هي خطوة أويلر $r_{\text{جديد}}=r+h\,f(r)$ التي تفترض بقاء السرعة ثابتة خلال خطوة طولها $h$. وفي المالية تحوّل التكاملات منحنى السعر الآجل إلى معامل خصم: $D(T)=\exp\!\big(-\int_0^T f(t)\,dt\big)$ وتحوّل العائد وكثافة الاحتمال إلى قيمة متوقعة.

• دالة أم نقاط: استعمل quad حين تستطيع كتابة الدالة، وشبه المنحرف أو سيمبسون حين لا تملك إلا قيمًا.
• أخبر quad بالزوايا: عائد مثل $\max(S-K,0)$ يحتاج points=[K] لنتيجة موثوقة.
• التكاملات تسعّر: المساحة تحت منحنى آجل تعطي معامل خصم، والعائد في الكثافة يعطي قيمة متوقعة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• مساحة بشبه المنحرف10 نقطة
• خطوة أويلر10 نقطة
• الحل الدقيق15 نقطة
• معامل خصم15 نقطة
• المكامل المناسب15 نقطة
• تسعير خيار شراء بالتكامل10 نقطة
• لماذا نخبر quad بالزاوية25 نقطة