Integration mit quad und ODE-Lösern

Unter einer Kurve addieren: Flächen und sich bewegende Systeme

Ein Integral ist die Fläche unter einer Kurve. integrate.quad(f, a, b) berechnet $\int_a^b f(x)\,dx$ für eine Funktion, die Sie schreiben, und liefert den Wert mit einer Fehlerschätzung. Es ist adaptiv: Es tastet dort dichter ab, wo sich die Funktion schnell ändert. Hat man nur Werte an Punkten und keine Funktion, addiert man dünne Streifen. Die Trapezregel, np.trapezoid, verbindet benachbarte Punkte durch Geraden und addiert die Trapezflächen. Die Simpson-Regel, integrate.simpson, nutzt kleine Parabeln und ist für glatte Kurven viel genauer. Eine Funktion mit Knick, etwa die Auszahlung eines Calls $\max(S-K,0)$, bricht die Glattheit, die quad erwartet, daher sagt man mit points=[K], wo der Knick liegt.

Das zweite Werkzeug ist für Systeme, die sich bewegen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) sagt, wie schnell sich etwas ändert, etwa ein kurzer Zins, der mit Geschwindigkeit $\kappa$ zu einem langfristigen Niveau $\theta$ gezogen wird: $\dfrac{dr}{dt}=\kappa(\theta-r)$. integrate.solve_ivp(f, [0, T], [r0]) verfolgt sie in der Zeit. Die einfachste Handmethode ist der Euler-Schritt, $r_{\text{neu}}=r+h\,f(r)$, der annimmt, dass die Geschwindigkeit über einen Schritt der Länge $h$ konstant bleibt. In der Finanzwelt machen Integrale aus einer Terminzinskurve einen Diskontfaktor: $D(T)=\exp\!\big(-\int_0^T f(t)\,dt\big)$, und aus einer Auszahlung und einer Wahrscheinlichkeitsdichte einen Erwartungswert.

• Funktion oder Punkte: quad, wenn man die Funktion schreiben kann, Trapez oder Simpson, wenn man nur Werte hat.
• quad die Knicke nennen: Eine Auszahlung wie $\max(S-K,0)$ braucht points=[K] für ein verlässliches Ergebnis.
• Integrale bewerten: Die Fläche unter einer Terminkurve ergibt einen Diskontfaktor, Auszahlung mal Dichte einen Erwartungswert.

Lab: Was bewertet wird

• Eine Trapezfläche10 Pkt.
• Ein Euler-Schritt10 Pkt.
• Die exakte Lösung15 Pkt.
• Ein Diskontfaktor15 Pkt.
• Der richtige Integrator15 Pkt.
• Einen Call durch Integration bewerten10 Pkt.
• Warum man quad den Knick mitteilt25 Pkt.