Spezialfunktionen bei der Optionsbewertung

Die Funktionen hinter den Formeln

scipy.special sammelt die benannten Funktionen, die in Formeln immer wieder auftauchen. Die für die Finanzwelt nützlichste ist die Normalverteilungsfunktion $\Phi(x)$, verfügbar als special.ndtr. Sie hängt mit der Fehlerfunktion zusammen: $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$. Der Black-Scholes-Preis eines Calls mit Kassakurs $S$, Ausübungspreis $K$, Zins $r$, Volatilität $\sigma$ und Laufzeit $T$ nutzt sie zweimal: $C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$ mit $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ und $d_2=d_1-\sigma\sqrt T$. Die Empfindlichkeit des Preises gegenüber der Volatilität heißt Vega und ist $S\,\varphi(d_1)\sqrt T$, wobei $\varphi$ die Normaldichte ist. Vega braucht ein Newton-Löser, um eine implizite Volatilität zu finden.

Die andere Gruppe spezieller Funktionen betrifft zu große oder zu kleine Zahlen. Eine Fakultät wächst so schnell, dass $171!$ eine gewöhnliche Dezimalzahl im Computer schon überläuft, aber $\ln n!$ ist leicht: special.gammaln(n+1). special.comb(n, k) zählt die Pfade mit $k$ Aufwärtsschritten in einem Baum mit $n$ Schritten. special.logsumexp berechnet $\ln\sum e^{x_i}$ sicher, indem es das größte $x$ herauszieht, sodass $\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$ nicht überläuft. special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) macht aus jedem Score eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1, wie im logistischen Modell. Die Regel: in Logarithmen rechnen, wenn eine Zahl riesig oder winzig sein kann, und erst am Ende exponentieren.

• Die Funktion benennen: ndtr, erf, expit, gammaln, comb und logsumexp ersetzen Seiten handgeschriebener Mathematik.
• Bei Extremen in Logarithmen rechnen: gammaln und logsumexp statt einer Fakultät oder einer Summe riesiger Exponentialfunktionen.
• Vega treibt den Löser an: Ein Newton-Schritt für die implizite Volatilität ist die Preislücke geteilt durch das Vega.

Lab: Was bewertet wird

• Die Normalfunktion aus erf10 Pkt.
• Ein Black-Scholes-Call20 Pkt.
• Das Vega10 Pkt.
• Ein Schritt der impliziten Volatilität15 Pkt.
• Wofür jede Funktion da ist15 Pkt.
• Der sichere Weg zu addieren10 Pkt.
• Warum man Fakultäten über Logarithmen berechnet20 Pkt.