Fonctions spéciales dans la valorisation d'options

Les fonctions derrière les formules

scipy.special rassemble les fonctions nommées qui reviennent sans cesse dans les formules. La plus utile en finance est la fonction de répartition normale $\Phi(x)$, disponible sous special.ndtr. Elle est liée à la fonction d'erreur par $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$. Le prix de Black–Scholes d'un call de spot $S$, d'exercice $K$, de taux $r$, de volatilité $\sigma$ et de durée $T$ l'utilise deux fois : $C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$, où $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ et $d_2=d_1-\sigma\sqrt T$. La sensibilité du prix à la volatilité s'appelle le vega et vaut $S\,\varphi(d_1)\sqrt T$, où $\varphi$ est la densité normale. Le vega est ce dont un solveur de Newton a besoin pour trouver une volatilité implicite.

L'autre groupe de fonctions spéciales concerne les nombres trop grands ou trop petits. Une factorielle croît si vite que $171!$ dépasse déjà ce qu'un nombre décimal ordinaire peut contenir dans un ordinateur, mais $\ln n!$ est facile : special.gammaln(n+1). special.comb(n, k) compte les chemins à $k$ hausses dans un arbre à $n$ pas. special.logsumexp calcule $\ln\sum e^{x_i}$ sans risque en sortant le plus grand $x$, de sorte que $\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$ ne déborde pas. special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) transforme n'importe quel score en probabilité entre 0 et 1, comme dans un modèle logistique. La règle : travailler en logarithmes quand un nombre peut être énorme ou minuscule, et n'exponentier qu'à la fin.

• Nommer la fonction : ndtr, erf, expit, gammaln, comb et logsumexp remplacent des pages de maths écrites à la main.
• Travailler en logarithmes pour les extrêmes : utilisez gammaln et logsumexp au lieu d'une factorielle ou d'une somme d'exponentielles énormes.
• Le vega pilote le solveur : un pas de Newton pour la volatilité implicite est l'écart de prix divisé par le vega.

Lab : ce qui est noté

• La fonction normale à partir de erf10 pts
• Un call de Black–Scholes20 pts
• Le vega10 pts
• Un pas de volatilité implicite15 pts
• À quoi sert chaque fonction15 pts
• La façon sûre d'additionner10 pts
• Pourquoi calculer les factorielles par les logarithmes20 pts