Funções especiais na precificação de opções

As funções por trás das fórmulas

O scipy.special reúne as funções com nome que aparecem sempre nas fórmulas. A mais útil em finanças é a função de distribuição normal $\Phi(x)$ , disponível como special.ndtr. Ela se liga à função erro por $\Phi(x)=\tfrac12\big(1+\operatorname{erf}(x/\sqrt2)\big)$ . O preço de Black–Scholes de uma call com spot $S$ , exercício $K$ , taxa $r$ , volatilidade $\sigma$ e prazo $T$ a usa duas vezes: $C=S\,\Phi(d_1)-K e^{-rT}\Phi(d_2)$ , em que $d_1=\dfrac{\ln(S/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt T}$ e $d_2=d_1-\sigma\sqrt T$ . A sensibilidade do preço à volatilidade chama-se vega e vale $S\,\varphi(d_1)\sqrt T$ , em que $\varphi$ é a densidade normal. A vega é o que um solucionador de Newton precisa para achar uma volatilidade implícita.

O outro grupo de funções especiais trata de números grandes ou pequenos demais. Um fatorial cresce tão rápido que $171!$ já estoura um número decimal comum no computador, mas $\ln n!$ é fácil: special.gammaln(n+1). special.comb(n, k) conta os caminhos com $k$ altas numa árvore de $n$ passos. special.logsumexp calcula $\ln\sum e^{x_i}$ com segurança tirando o maior $x$ , de modo que $\ln(e^{1000}+e^{1000})=1000+\ln2$ não estoura. special.expit(x)=1/(1+e^{-x}) transforma qualquer pontuação em probabilidade entre 0 e 1, como num modelo logístico. A regra: trabalhe em logaritmos quando um número pode ser enorme ou minúsculo e só exponencie no fim.

\Phi(x)=\tfrac12\Big(1+\operatorname{erf}\Big(\frac{x}{\sqrt2}\Big)\Big),\qquad C=S\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2),\qquad \text{vega}=S\,\varphi(d_1)\sqrt T,\qquad \ln\sum e^{x_i}=m+\ln\sum e^{x_i-m}

(1)

Um preço de call e um passo de volatilidade implícitaTome

S=K=100

r=0

\sigma=0{,}2

T=1

. Então

d_1=0{,}1

d_2=-0{,}1

, e

\Phi(0{,}1)=0{,}5398

\Phi(-0{,}1)=0{,}4602

. Logo

C=100\cdot(0{,}5398-0{,}4602)=7{,}97

. A densidade normal em

0{,}1

0{,}3970

, então a vega é

100\cdot0{,}3970\cdot1=39{,}70

. Se o preço de mercado é

9{,}00

, o preço está baixo por

1{,}03

, e um passo de Newton eleva a volatilidade para

0{,}2+1{,}03/39{,}70=0{,}2261

. Para

\Phi(1)

pode-se usar

\operatorname{erf}(0{,}7071)=0{,}6827

, então

\Phi(1)=\tfrac12(1+0{,}6827)=0{,}8413

. Nas ferramentas pequenas,

\operatorname{expit}(2)=0{,}8808

\ln 4!=3{,}178

\binom{10}{3}=120

. Em dados reais, o retorno diário do SPY tem desvio-padrão de

1{,}196\%

. Uma queda de

5\%

z=-4{,}21

desvios, e

\Phi(-4{,}21)=1{,}26\cdot10^{-5}

, que um modelo normal diz acontecer uma vez a cada cerca de

315

anos. Nos

5\,403

dias de dados, aconteceu em

20

dias.

Dê nome à função: ndtr, erf, expit, gammaln, comb e logsumexp substituem páginas de matemática escrita à mão.
Trabalhe em logaritmos com extremos: use gammaln e logsumexp em vez de um fatorial ou de uma soma de exponenciais enormes.
A vega conduz o solucionador: um passo de Newton para a volatilidade implícita é a diferença de preço dividida pela vega.

Lab: o que é avaliado

A função normal a partir de erf10 pts
Uma call de Black–Scholes20 pts
A vega10 pts
Um passo de volatilidade implícita15 pts
Para que serve cada função15 pts
A forma segura de somar10 pts
Por que calcular fatoriais por logaritmos20 pts

As funções por trás das fórmulas

\Phi(x)=\tfrac12\Big(1+\operatorname{erf}\Big(\frac{x}{\sqrt2}\Big)\Big),\qquad C=S\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2),\qquad \text{vega}=S\,\varphi(d_1)\sqrt T,\qquad \ln\sum e^{x_i}=m+\ln\sum e^{x_i-m}

(1)

Um preço de call e um passo de volatilidade implícitaTome

S=K=100

r=0

\sigma=0{,}2

T=1

. Então

d_1=0{,}1

d_2=-0{,}1

, e

\Phi(0{,}1)=0{,}5398

\Phi(-0{,}1)=0{,}4602

. Logo

C=100\cdot(0{,}5398-0{,}4602)=7{,}97

. A densidade normal em

0{,}1

0{,}3970

, então a vega é

100\cdot0{,}3970\cdot1=39{,}70

. Se o preço de mercado é

9{,}00

, o preço está baixo por

1{,}03

, e um passo de Newton eleva a volatilidade para

0{,}2+1{,}03/39{,}70=0{,}2261

. Para

\Phi(1)

pode-se usar

\operatorname{erf}(0{,}7071)=0{,}6827

, então

\Phi(1)=\tfrac12(1+0{,}6827)=0{,}8413

. Nas ferramentas pequenas,

\operatorname{expit}(2)=0{,}8808

\ln 4!=3{,}178

\binom{10}{3}=120

. Em dados reais, o retorno diário do SPY tem desvio-padrão de

1{,}196\%

. Uma queda de

5\%

z=-4{,}21

desvios, e

\Phi(-4{,}21)=1{,}26\cdot10^{-5}

, que um modelo normal diz acontecer uma vez a cada cerca de

315

anos. Nos

5\,403

dias de dados, aconteceu em

20

dias.

Dê nome à função: ndtr, erf, expit, gammaln, comb e logsumexp substituem páginas de matemática escrita à mão.
Trabalhe em logaritmos com extremos: use gammaln e logsumexp em vez de um fatorial ou de uma soma de exponenciais enormes.
A vega conduz o solucionador: um passo de Newton para a volatilidade implícita é a diferença de preço dividida pela vega.

Lab: o que é avaliado

A função normal a partir de erf10 pts
Uma call de Black–Scholes20 pts
A vega10 pts
Um passo de volatilidade implícita15 pts
Para que serve cada função15 pts
A forma segura de somar10 pts
Por que calcular fatoriais por logaritmos20 pts

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