O essencial da álgebra linear no scipy.linalg

As matrizes, a engrenagem das carteiras

Um problema de carteiras é um problema de matrizes. A matriz de covariância $\Sigma$ guarda as variâncias e os co-movimentos dos ativos, e quase toda tarefa pede algo feito com ela. scipy.linalg.solve(A, b) resolve $A\mathbf x=\mathbf b$ para a incógnita $\mathbf x$. Não se deve calcular a inversa inv(A) e multiplicar: a resolução direta faz menos trabalho e perde menos precisão. A fatoração de Cholesky, linalg.cholesky(S, lower=True), divide uma matriz de covariância em $\Sigma=LL^{\top}$, em que $L$ é triangular inferior, isto é, com zeros acima da diagonal. Se $\mathbf z$ é um vetor de números normais padrão independentes, então $L\mathbf z$ tem covariância $\Sigma$, e é assim que se simulam retornos correlacionados.

Os autovalores de $\Sigma$ dizem quantas fontes independentes de risco existem de fato. linalg.eigvalsh(S) os devolve para uma matriz simétrica, do menor ao maior. Para dois ativos com correlação $\rho$, a matriz de correlação tem autovalores $1+\rho$ e $1-\rho$, então ativos muito correlacionados têm um autovalor grande e um minúsculo. A razão entre o maior e o menor é o número de condição. Um número de condição grande significa que a matriz é quase singular, isto é, quase impossível de inverter, e uma pequena mudança nos dados pode mexer muito na resposta. Otimizadores que tomam a inversa de $\Sigma$ são sensíveis exatamente a isso.

• Resolver, não inverter: solve(A, b) é mais rápido e preciso que inv(A) @ b.
• Cholesky cria correlação: multiplique normais independentes por $L$ para obter retornos com covariância $\Sigma$.
• Vigie o número de condição: ativos muito correlacionados deixam $\Sigma$ quase singular e as soluções instáveis.

Lab: o que é avaliado

• O fator de Cholesky20 pts
• Resolver um sistema10 pts
• Um número de condição10 pts
• A parcela de variância de um fator10 pts
• Para que serve cada rotina15 pts
• Simular retornos correlacionados10 pts
• Por que não inverter25 pts